Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку

Основні поняття

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить
похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається
порядком диференціального рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

Далі замість слів «диференціальні рівняння» використовуватимемо
позначення ДР.

— ДР третього порядку.

Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.

Приклад. Рівняння з частинними похідними

має розв’язок

який називається функцією Кобба—Дугласа.

У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві
рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі
рівняння називаються звичайними.

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна
записати рівнянням

(8.1)

Це — ДР рівняння, що не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння
(8.1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (8.1) подаємо у
вигляді

. (8.2)

.

, тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

(8.3)

називається інтегральною кривою.

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача
інтегрування ДР

і має розв’язок

який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

.

, де С — довільний параметр.

Задача Коші

.

, що задовольняє умови

(8.4)

називаються початковими значеннями.

Теорема існування та єдиності розв’язків

неперервна в області D і задовольняє в області D умову Ліпшиця:

(8.5)

.

.

Умови (8.5) можна замінити іншою умовою:

(8.6)

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються
особливими. Розв’язок ДР називається особливим, коли всі точки на
розв’язку особливі.

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

є особливою точкою ДР.

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки
(рис. 8.1).

Рис. 8.1

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

.

при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв’язком.

( Справді, маємо тотожність:

знаходимо значення довільної сталої С

Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загальний
розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

у формі Коші.

то рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Розв’яжемо диференціальне рівняння

Рівняння можна записати у вигляді

Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають
дискримінантними кривими.

( Його можна записати у вигляді

Дискримінантна крива y = 0 є розв’язком ДР, але не є частинним
розв’язком. Цей особливий розв’язок можна було знайти

має розрив при

y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 8.2.

Рис. 8.2

Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

знаходимо дискримінантну криву

х = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР
зображено на рис. 8.3.

Рис. 8.3

8.1.3. Сім’я кривих

Якщо виключимо С із системи рівнянь

, (8.7)

то дістанемо ДР сім’ї кривих.

(рис. 8.4).

Рис. 8.4

Це рівняння має особливу точку (0, 0).

за ДР, яке описує цю сім’ю.

Для наближеного знаходження сім’ї інтегральних кривих використовується
графічний метод. ДР першого порядку задає кутовий коефіцієнт дотичної до
інтегральної кривої в кожній точці (х, у).

Побудувавши графіки ізоклін, можна наближено провести інтегральні
криві.

Побудуємо графіки ізоклін і проведемо наближено інтегральні криві
(рис. 8.5).

Рис. 8.5

8.1.4. Наближені методи розв’язування

, існує багато методів. Найпростіший метод запропонував Л. Ейлер.

Вводимо дискретні значення аргументу х.

на інтегральній кривій за формулою:

(8.8)

Ця формула називається чисельним методом інтегрування Ейлера.

Існують і точніші методи:

(8.9)

Формули (8.9) називаються екстраполяційними методами Адамса.

Наведемо точніші формули, якими подаються інтерполяційні методи Адамса:

(8.10)

— похідна k-го порядку точного розв’язку ДР.

,

(8.11)

за методом Ейлера (8.8), Адамса (8.9), Рунге—Кутта (8.11) при h = 0,2.

Розв’язок наведено у вигляді таблиці.

Таблиця 8.1

х0 Метод Ейлера Метод Адамса Метод

Рунге—Кутта Точний розв’язок

0.0 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 1.10000 1.10500 — 1.10517

0.2 1.21000 1.22115 1.22140 1.22140

0.3 1.33100 1.34977 — 1.34986

0.4 1.46410 1.49174 1.49182 1.49182

0.5 1.61051 1.64861 — 1.64872

0.6 1.77156 1.82199 1.82211 1.82212

0.7 1.94872 2.01361 — 2.01375

0.8 2.14359 2.22537 2.22552 2.22554

0.9 2.35795 2.45941 — 2.45960

1.0 2.59374 2.71806 2.71825 2.71828

Інший спосіб знаходження наближеного розв’язку полягає у застосуванні
розкладу шуканого розв’язку за відомими функціями. У частинному випадку
розв’язок можна шукати у вигляді степеневого ряду.

із якої знаходимо шуканий розв’язок ДР:

Ефективним методом побудови наближеного розв’язку ДР є метод Пікара. ДР
зводимо до інтегрального рівняння. Для цього ДР інтегруємо:

а потім розв’язуємо методом послідовних наближень:

методом послідовних наближень:

.

.

Диференціальне рівняння з відокремленими

та відокремлюваними змінними.

Означення. ДР виду

(8.12)

називається ДР з відокремленими змінними. Загальний розв’язок ДР
подається так:

(8.13)

має вигляд

(8.14)

ДР з відокремленими змінними зводиться до квадратури, тобто до
знаходження інтегралів.

Інтегральними кривими є концентричні кола з центром у початку координат.

Означення. Диференціальне рівняння виду

(8.15)

називається ДР з відокремлюваними змінними, тобто рівнянням, що
зводяться до ДР з відокремленими змінними.

дістанемо ДР з відокремленими змінними:

(8.16)

Аналогічно ДР виду

(8.17)

є ДР з відокремлюваними змінними. Рівняння (8.17) можна записати у
вигляді (8.12):

(8.18)

( Запишемо рівняння у вигляді

або

Однорідне диференціальне рівняння

Означення. Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо його
можна подати у вигляді

(8.19)

.

.

< >

R

f

h

?

R

f

1/4

gdOyu

D r t oe H

r

?

?

oo—‡‡~r~r‡‡

gdOyu

H

J

j

l

n

p

?

°

?

?

U

??

gdOyu

gdOyu

gdOyu

gdOyu

gdOyu

gdOyu

$c$?%»&j&,*E*+,+
,>,—A-F/?1o1″2h2’2oe26Z6?6Ae6x7e7&8//eeeeee/e/eeeee/e/eeee/eee

d?gdOyu

$a$gdOyu

?????u

j~

??u

 

X X

gdOyu

gdOyu

¤ ¤gdOyu

gdOyu

gdOyu

gdOyu

gdOyu

о ДР для змінної

.

не змінюється при перетворенні подібності:

(8.20)

.

При перетворенні подібності (8.20) інтегральні криві рівняння (8.19)
знову переходять в інтегральні криві рівняння (8.19). Усі інтегральні
криві однорідного ДР подібні з центром подібності в початку координат.
Якщо будь-яка інтегральна крива, що лежить в деякому секторі, входить у
початок координат, то всі інтегральні криві в цьому секторі теж входять
у початок координат. Якщо одна із інтегральних кривих замкнена, то всі
інтегральні криві замкнені.

Приклад. Побудуємо інтегральні криві однорідного ДР

дістанемо ДР:

Рис. 8.6

Остаточно знаходимо інтеграл ДР:

Інтегральні криві є колами, що проходять через початок координат (рис.
8.6). Усі інтегральні криві замкнені і входять у початок координат.

Диференціальні рівняння у повних диференціалах

або

(8.21)

називається ДР у повних диференціалах. Це ДР має інтеграл

(8.22)

ДР виду

(8.23)

є ДР у повних диференціалах, якщо виконується тотожність

(8.24)

із рівнянь

(8.25)

В окремому випадку можна скористатись формулою

(8.26)

можуть бути довільними числами.

подається формулами (8.26).

.

( Перевіримо спочатку виконання умови (8.24):

.

Л. Ейлер довів, що для будь-якого ДР першого порядку

є ДР у повних диференціалах. Із умови виду (8.24)

(8.28)

шукаємо інтегрувальний множник (, а потім інтегруємо рівняння (8.27).

Приклад. Знайдемо інтегрувальний множник для ДР

.

Умова (8.24) не виконується. Розглядуване ДР не є рівнянням у повних
диференціалах. Складемо рівняння (8.28).

, яке легко зінтегрувати:

Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Диференціальні рівняння виду

(8.29)

, то ДР називається неоднорідним.

Однорідні рівняння інтегруються у квадратурах, як ДР із відокремленими
змінними:

.

Нехай відомий частинний розв’язок неоднорідного ДР.

.

Отже, справджується така теорема:

Теорема 1. Загальний розв’язок неоднорідного лінійного ДР дорівнює сумі
частинного розв’язку неоднорідного ДР і загального розв’язку однорідного
ДР.

Приклад. Лінійне ДР.

Звичайно використовують такі три методи розв’язування лінійного
неоднорідного ДР.

І. Метод Бернуллі.

Зведемо це рівняння до системи ДР:

Із першого рівняння знаходимо змінну v:

Із другого рівняння знаходимо змінну u:

Остаточно маємо розв’язок у вигляді

(8.30)

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР

Підставляючи, дістаємо рівняння

Зведемо це рівняння до системи ДР:

знаходимо:

Із другого рівняння маємо:

Знаходимо розв’язок:

ІІ. Метод Ейлера.

ДР набирає вигляду:

.

Остаточно приходимо до розв’язку виду (8.30):

Приклад. Знайдемо розв’язок ДР

( Помножимо ДР на інтегрувальний множник ?:

При цьому дістанемо ДР:

Знайдемо інтегрувальний множник з ДР:

ІІІ. Метод Лагранжа

Лагранж запропонував загальний метод розв’язування неоднорідних лінійних
ДР. Спочатку розв’язується однорідне ДР. У загальний розв’язок входять
довільні сталі. Потім шукається загальний розв’язок неоднорідного ДР і
при цьому довільні сталі стають новими шуканими функціями.

Шукатимемо розв’язок неоднорідного ДР (8.29).

Підставляючи в ДР (8.28), дістаємо рівняння

.

Приходимо до простого ДР

і загального розв’язку неоднорідного ДР виду (8.30):

Метод Лагранжа часто називають методом варіації довільної сталої.

Приклад. Знайдемо за методом Лагранжа розв’язок неоднорідного лінійного
ДР

.

Підставивши в неоднорідне ДР, дістанемо

або

Використаємо формулу інтегрування частинами:

Отже, остаточно дістанемо загальний розв’язок ДР:

До лінійного ДР зводиться ДР Бернуллі

, і ДР для z набирає вигляду ДР

Зниження порядку деяких

диференціальних рівнянь другого порядку

У загальному випадку ДР другого порядку має вигляд

Загальний розв’язок рівняння містить дві довільні сталі:

(8.32)

задається при різних значеннях аргументу.

У деяких випадках можна знизити порядок ДР другого порядку (8.31) і
звести до ДР першого порядку.

І. У ДР відсутня шукана функція. ДР виду

(8.33)

Дістанемо ДР першого порядку

(8.34)

з відокремлюваними змінними:

дістанемо ДР першого порядку:

Знайдемо загальний розв’язок ДР другого порядку:

знижуємо порядок і приходимо до ДР першого порядку:

Інтегруючи z, дістаємо загальний розв’язок ДР другого порядку:

ІІ. ДР не містить явно аргументу. Порядок ДР

(8.35)

Якщо знайдемо загальний розв’язок цього рівняння, то для пошуку
загального розв’язку ДР (8.36) дістанемо рівняння:

.

.

розв’язуючи яке, дістаємо:

ІІІ. ДР є однорідним відносно шуканої функції та її похідних, тобто

(8.36)

узявши

(8.37)

то далі маємо:

( Використовуючи заміну (8.37), приходимо до ДР першого порядку

Диференціальне рівняння n-го порядку

У загальному випадку ДР n-го порядку має вигляд

Загальний розв’язок ДР залежить від n довільних сталих і має вигляд

Задача Коші полягає у знаходженні частинного розв’язку y(x), що
задовольняє початкові умови:

— наперед задані значення.

Деякі ДР можуть бути зінтегровані в квадратурах, тобто знаходження
загального розв’язку зводиться до інтегрування відомих функцій.

розв’язуючи яке маємо:

Остаточно знаходимо загальний розв’язок:

Для знаходження частинного розв’язку задаємо початкові умови:

і отримуємо частинний розв’язок ДР третього порядку:

Аналогічно може бути розв’язане ДР n-го порядку виду

а далі зінтегруємо рівняння за х.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Вузол

Вузол

Центр

Сідло

Фокус

y

x

y

x

Похожие записи