Контрольна робота з математики
Диференціальні рівняння першого порядку. Метод ламаних Ейлера. Наближене
розв’язання диференціального рівняння І порядку. Загальний розв’язок
рівняння у’=у+3 і задача Коші для рівняння з початковою умовою: у(0)=1
План
1. Диференціальні рівняння першого порядку.
2. Метод ламаних Ейлера. Наближене розв’язання диференціального рівняння
І порядку.
3. Загальний розв’язок рівняння у’=у+3 і задача Коші для рівняння з
початковою умовою: у(0)=1.
1.Диференціальне рівняння першого порядку.
-го порядку такий:
.
.
Інтегруючи, отримаємо:
,
– довільна стала.
– довільна стала
Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
то можна записати у вигляді
.
В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв’язане
відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування
та єдності розв’язку диференціального рівняння.
Теорема. Якщо в рівнянні
називається початковою умовою. Вона часто записується так:
Означення 1. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого
порядку називається функція
і задовольняє таким умовам:
задовольняє даній початковій умові.
Як вже відмічалося, при відшуканні загального розв’язку диференціального
рівняння ми часто приходимо до співвідношення вигляду
, що задає неявно загальний розв’язок, називається загальним
інтегралом.
?
1/4
3/4
A
A
Ae
AE
E
E
I
I
?
O
O
$
–
8
>
b
?
‚
?
¶
?
?
1/4
U
Ue
0aath
–
$
&
*
.
†
?
O
Oe
O
U
Ue
?
?
?
називається в цьому випадку частинним інтегралом.
Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального
рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що
проходить через деяку точку площини.
Розв’язати (про інтегрувати) диференціальне рівняння – це значить:
а) знайти його загальний розв’язок або загальний інтеграл (якщо не
задані початкові умови);
б) знайти той частинний розв’язок рівняння або частинний інтеграл, який
задовольняє початковим умовам (якщо такі є).
2. Метод ламаних Ейлера. Наближене розв’язання диференціального
рівняння І порядку.
Існують окремі типи диференціальних рівнянь, для яких задача про
знаходження всіх розв’язків зводиться до обчислення скінченого числа
інтегралів і похідних від відомих функцій і алгебраїчних операцій. Про
диференціальні рівняння таких типів кажуть, що вони інтегруються в
квадратурах (зводяться до квадратур). Проте більшість рівнянь неможливо
звести до квадратур. Такі рівняння розв’язують наближеними методами.
Найпростіший із них – метод ламаних Ейлера або коротше метод Ейлера.
Правда точність цього методу невелика, тому на практиці користуються
порівняно рідко. Але він допомагає краще зрозуміти інші, більш ефективні
методи.
Нехай на якомусь відрізку [х0,b] треба знайти такий розв’язок у=у(х)
диференціального рівняння
У’=f(x,y), (3)
Який задовольняє початкову умову
У(х0)=у0 (4)
Припустимо, що права частина даного рівняння (функція f(x,y)
задовольняє умови теореми Коші про існування і єдність розв’язку,
причому відрізок [х0,b] входить в окіл, в якому розв’язок рівняння
(3)-(4) існує і єдиний. Графік цього розв’язку називається інтегральною
кривою диференціального рівняння (3).
Суть методу Ейлера полягає в тому, що маючи точне чи наближене
значення у(х) розв’язку диференціального рівняння (3) для якогось
конкретного значення х, можна обчислити наближено і значення у(х+(х)
розв’язку для близької точки х+(х; для цього замість повного приросту
функції у(х) на відрізку [х,х+(х] береться наближене значення її
приросту – її диференціал у’(х)*(х:
(у(х)=у(х+(х)-у(х) (у’(х)*(х
звідси одержуємо:
у(х+(х)(у(х)+у’(х)*(х (5)
Похідна у’(х) в точці х знаходиться з самого диференціального
рівняння (3), яке і вказує, як знайти числове значення похідної
розв’язку в точці х, коли відомий сам розв’язок в точці х:
у’(x)=f(х,у(х)) (6)
З (5) і (6) одержуємо
у(х+(х)(у(х)+f(х,у(х))*(х,
} (7)
у’(х+(х)=у’(х)+f(х,у’(х))*(х,
Так само, маючи наближене значення у(х+ х), обчислене за цією ж
формулою обчислити значення
У((х+(х)+(х), у(х+3(х), у(х+4(х) і т.д.
Таким чином, маючи значення у(х0)=у0 задане початковою умовою (2),
можна за формулою (7) поступово обчислювати значення
У(х0+2(х), у(х0+3(х) і т.д.
Нанести знайдені точки на координатну площину і сполучивши їх
відрізками прямих, одержимо ламану Ейлера, яка є наближеним зображенням
інтегральної кривої.
Враховуючи сказане, знаходження розв’язку диференціального рівняння
(3)-(4) організуємо в такий спосіб.
Розіб’ємо відрізок [х0,b] на n рівних частин, так що довжина h=(х
кожної з них дорівнюватиме
h=b-x0/n.
Точки поділу х1 , х2 , … , хі , … , хn відрізка [х0,b] матимуть
координати
Хі+1=хі+h , і= 0 , 1 , 2 , … , n-1 . (8)
Позначимо через уі наближене значення у’(хі) розв’язку в точці хі:
Уі=у’(хі) (9)
Тоді, поклавши (х =h, з рівностей (7), враховуючи (8) і (9)
матимемо
У’(xi+(x)=y’(xi+h)=y’(xi+1)=yi+1
y’(xi+(x)=yi+1=yi+f(xi,yi)*(x, i=0 , 1 , 2 , … , n-1 .
(10)
Маючи у0 з початкової умови (4), за формулою (10) можна обчислити
у1, у2, … ,у10:
y1=у0=f(x0,y0)*h,
y2=y1+f(x1,y1)*h,
y3=y2=f(x2,y2)*h,
– – – – – – – – – – – – – – – – – –
yn=yn-1+f(xn-1,yn-1)*h.
Сполучаючи на координатній площині точки (х0,у0), (х1, у1), … ,
(хn,yn) відрізками прямих, одержимо ламану лінію, яка називається
ламаною Ейлера і є наближеним зображенням інтегральної кривої – графіка
розв’язку рівняння (3) з умовою (4)(див. рисунок)
Геометрично відрізок, що сполучає точки (хі.уі) і (хі+1, уі+1) є
відрізок дотичної до інтегральної кривої, що проходить через точку (хі,
уі).
3. Загальний розв’язок рівняння у’=у+3 і задача Коші для рівняння з
початковою умовою: у(0)=1.
y’=у+3;
dy/dx=y+3;
dy=(y+3)dx;
dy/y+3=dx;
(dy/y+3=(dx;
(d(y+3/y+3=(dx;
ln(y+3(=x+ln(c1(;
ln(y+3(=ln ex+ln(c1(;
ln(y+3(=ln(c1(*ex;
(y+3(=(c1(*ex;
y+3=c*ex;
Звідси:
y=c*ex-3.
Це загальний розв’язок рвіняння у’=у+3.
Знайдемо частинний розв’язок, який задовольняє умову у(0)=1:
1=с*е0-3;
1=e-3;
С=1+3=4;
y=4ex-3
-частинний розв’язок
Обчислимо значення знайденої функції у(х)=4ех-3 для значень х=0,1;
0.2; 0.3; … ;0.9; 1 і побудуємо за цими точками графік даної функції на
відрізку [0,1], а також ламану Ейлера.
Таб. 2.
і хі ех 4ех-3
0 0 1 1
1 0,1 1,105 1,42
2 0,2 1,221 1,884
3 0,3 1,350 2,4
4 0,4 1,492 2,968
5 0,5 1,649 3,596
6 0,6 1,822 4,288
7 0,7 2,014 5,056
8 0,8 2,226 5,904
9 0,9 2,460 6,84
10 1 2,718 7,872
Отже, наближене значеня розв’язку при х=1 є у’(х=1)=7,482 , точне
значення при х=1 є у(х=1)=7,872.
Абсолютна похибка дорівнює
7,872-7,482=0,39
Відносна похибка дорівнює
0,39/7,872=39/7872=0,0049(0,49%.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
