Реферат на тему:

ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ

Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну

(1)

тоді

(2)

0.

Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо:

(3)

х, тому що:

х, тому що:

х в степені, вищому від одиниці.

у і називається диференціалом функції.

Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної
змінної і позначається dy або df(x).

Отже, маємо

x (4)

x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом,
тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної
змінної.

На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо
формулу (4) записати так:

dy = f’ (x) dx (5)

0), безпосередньо знаходимо:

(6)

можемо надавати dy і dx самостійного значення:

Вираз (3) можемо записати ще так:

(7)

Звідки

0.

y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5).

Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка.

Рис. 1

хf'(x) = f?(x) dx = dy.

x.

Формули диференціювання.

Правила диференціювання:

Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо,
наприклад, два останніх:

Інваріантність форми диференціала.

Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має
можливість одержати важливу власність диференціала.

(t)). Якщо існують похідні ух ‘ xt ‘, то

(8)

Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за
формулою dy = уx ‘·dx . Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому
випадку маємо другий вираз для диференціала dy = yt’·dt.

Заміною похідної уt’ її виразом (8) одержимо

(9)

Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим
незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).

Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному
доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:

dy = yx’dx

х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають
інваріантність форм.

Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях.

у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому
приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції

(10)

х = х — х0, то рівняння (10) приймає вигляд

(11)

Таким чином, для значення де, близьких до х0, функцію f (x) наближено
можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої
y=f(x), прилеглої до точки (x0,f(x0), відрізком дотичної до кривої в цій
точці:

(див. Рис. 1). Беручи значення х0 = 0 і обмежуючись малими значеннями х,
одержимо наближену формулу

Звідси, підставляючи замість f (x) різні елементарні функції, легко
одержати ряд формул

) ;

Приведемо декілька прикладів.

Приклад 1) Обчислимо наближено sin 46°.

. Тоді згідно (11)

.

х = -0,0022. Тоді

Диференціал функцій, заданих у параметричній формі.

У випадку многозначної функції ми повинні ставити такі додаткові умови,
внаслідок яких треба розглядати окремі частини цієї функції, тобто
однозначні функції. Наприклад розглянемо еліпс, віднесений до його осей
симетрії. Рівняння еліпса буде:

.

У загальному випадку функція складається в параметричній формі так:
x=x(t),y = y(t) (a).

(х)) = f (x)

У випадку, якщо функція задана параметричне, можна безпосередньо за
рівнянням (а), не переходячи до рівняння y = f (x), знайти похідну від у
по х.

Це можна зробити, використовуючи формулу похідної функції від функції
(складної функції) та формули похідної від оберненої функції, а саме:

Можна вивести цю формулу і іншим способом, використовуючи поняття
похідної як відношення двох диференціалів:

Для еліпса, заданого рівнянням х = a cos t, y = b sin t.

Похожие записи