Пошукова робота на тему:
Диференціальні рівняння вищих порядків.
План
Диференціальні рівняння вищих порядків
Задача про другу космічну швидкість
12.7. Диференціальні рівняння вищих порядків
го порядку, розв’язане відносно старшої похідної:
. (12.25)
го порядку має вигляд
його називають загальним інтегралом.
Задамо початкові умови для рівняння (12.25): нехай при
. (12.26)
.
го порядку, які зводяться до диференціальних рівнянь нижчого порядку.
після першого інтегрування одержимо
довільна стала інтегрування. Після другого інтегрування маємо
Продовжуючи аналогічно, отримаємо загальний розв’язок
Приклад 1. При подачі деталей за допомогою транспортуючої
стрічки диференціальне рівняння руху ведучого барабана має вигляд
одержимо
Інтегруючи це рівняння двічі, будемо мати загальний
розв’язок
або
шукана функція, рівняння зводиться до рівняння першого порядку
і рівняння набуває вигляду
Відокремлюючи змінні та інтегруючи, одержимо
будемо мати
Після інтегрування одержимо загальний розв’язок рівняння
Рівняння виду
го порядку.
Зробимо заміну
і рівняння стає після заміни рівнянням першого порядку
,
одержимо рівняння
Загальний інтеграл рівняння має такий вигляд
Приклад 3. Задача про другу космічну швидкість.
Визначити найменшу швидкість, з якою потрібно кинути тіло вертикально
вверх, щоби воно не повернулося на Землю. Опором повітря нехтувати.
дорівнює
гравітаційна стала. Згідно другого закону Ньютона диференціальне
рівняння руху має вигляд
або
(12.27)
В рівнянні (12.27) взято знак мінус тому, що в задачі
прискорення від’ємне. Диференціальне рівняння (12.27) належить до виду,
що розглядався в п.12.7.3. Будемо шукати розв’язок рівняння при таких
початкових умовах:
швидкість кидання. Позначимо
швидкість руху. Підставляючи в рівняння (12.27), одержимо
Відокремлюючи змінні та інтегруючи, будемо мати
Тоді
(12.28)
, коли вираз в дужках формули (12.28) буде невід’ємним
Отже, найменша швидкість буде визначатися рівністю
(12.29)
тому із рівності (12.51) одержимо
Підставляючи це значення в (12.29), одержимо другу космічну
швидкість
одержимо
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
