Пошукова робота на тему:

Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до
диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача
Коші.

План

Вступні відомості про диференціальні рівняння

Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до
диференціальних рівнянь

Диференціальні рівняння першого порядку

Задача Коші

Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку

12. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

12.1. Вступні відомості про диференціальні рівняння

-го порядку такий:

.

.

            Інтегруючи, отримаємо:

,

 – довільна стала.

 – довільна стала

             Розглянемо приклади.

             Задача 1. Записати рівняння кривої, якщо відомо, що точка
перетину будь-якої дотичної до кривої з віссю абсцис однаково віддалена
від точки дотику та від початку координат.

 .                   

— координати точки дотику.

                                         Рис.12.1

 в рівняння дотичної:

 

Тоді

Після нескладних перетворень отримаємо диференціальне рівняння першого
порядку

 ).

            Р о з в ‘ я з о к. За другим законом Ньютона

 ( ми беремо її із знаком мінус, оскільки вона направлена в сторону, що
протилежна напрямку швидкості).Отже,

, яка б тотожньо задовольняла даному диференціальному рівнянню.
Очевидно, що таких функцій буде безмежна множина.

Неважко перевірити, що всяка функція вигляду

            Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

 то можна записати у вигляді

.

В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв’язане

відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування
та єдності розв’язку диференціального рівняння.

            Теорема. Якщо в рівнянні

називається початковою умовою. Вона часто записується так:

            Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, що
задовольняє початковій умові, називається задачею Коші.

            Означення 1. Загальним розв’язком диференціального рівняння
першого порядку називається функція

 і задовольняє таким умовам:

 задовольняє даній початковій умові.

            Як вже відмічалося, при відшуканні загального розв’язку
диференціального рівняння ми часто приходимо до співвідношення вигляду

, що задає неявно загальний розв’язок, називається загальним
інтегралом.

називається в цьому випадку частинним інтегралом.

Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального
рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що
проходить через деяку точку площини.

            Розв’язати (про інтегрувати) диференціальне рівняння – це
значить:

            а) знайти його загальний розв’язок або загальний інтеграл
(якщо не задані початкові умови);

            б)  знайти той частинний розв’язок рівняння або частинний
інтеграл, який задовольняє початковим умовам (якщо такі є).

12.2. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого
порядку

            Нехай диференціальне рівняння першого порядку, що розв’язане
відносно похідної, має вигляд

                     (*)          

. З геометричної точки зору проінтегрувати диференціальне рівняння – це
знайти криві, дотичні яких збігаються з напрямом поля у відповідних
точках.

 у цих точках. При побудові полів напрямків зручно користуватися
ізоклінами (грецькі isos – рівний, однаковий, klino -нахиляю), лініями,
у всіх точках яких напрям поля один і той самий.

.

                                                      Рис.12.2

Похожие записи