Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку,

розв(язані відносно похідної

1. Поняття диференціального рівняння, його порядок.

Означення 2.1. ?Рівняння вигляду

(2.1)

називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут
обов(язкова).

Означення 2.2.?Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне
рівняння (2.1) називається порядком диференціального рівняння.

.

— диференціальне рівняння другого порядку.

диференціальне рівняння (2.1) називається диференціальним рівнянням
першого порядку і позначається

. (2.2)

Диференціальне рівняння (2.2) називається розв(язаним відносно
похідної, якщо його можна представити у вигляді

. (2.3)

однозначна і неперервна в деякій області D змінних x,y. Цю область
називають областю визначення диференціального рівняння (2.3).

, то розглядають диференціальне рівняння

.

не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо
приєднувати до області визначення диференціального рівняння (2.3).

Поряд з (2.3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння,
записане в диференціалах

(2.4)

або в більш загальному виді

(2.5)

Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі

(2.6)

будемо вважати неперервними в деякій області.

, тобто

називається розв(язком, записаним в явній формі (вигляді).

Процес знаходження розв(язку диференціального рівняння називається
інтегруванням.

Не завжди можна отримати розв(язок в явному вигляді.

Означення 2.5.?Будемо говорити, що рівняння

(2.7)

, яка є розв(язком диференціального рівняння (2.3).

При цьому на розв(язках диференціального рівняння (2.3) виконується

. (2.8)

Означення 2.6?Будемо говорити, що співвідношення

(1.9)

, якщо

. (2.10)

Задача Коші.

, який проходить через задану точку

(2.11)

— функції.

.

.

порушується єдиність розв(язку задачі Коші.

задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

(рис. 2.2)

Рис. 2.2

), який примикає до точки М.

і т.д.

в диференціальному рівнянні (2.3) визначена і неперервна в обмеженій
області

і, отже, вона є обмеженою

(2.12)

має обмежену частинну похідну по у на D

. (2.13)

При цих умовах задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний
неперервно-диференційовний розв(язок в інтервалі

(2.14

по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто

. (2.15)

Тут L>0 — найменша константа яка задовольняє (2.15) і називається
константою Ліпшіца .

проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

Якщо функція диференційовна і задовольняє (2.13), то вона задовольняє
умові Ліпшіца, з L=K.

.

Поняття загального розв(язку, форми його запису.

На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (2.3) має
нескінченну множину розв(язків, яка залежить від деякого параметру с

(2.16)

Це сімейство і називається загальним розв(язком диференціального
рівняння (2.3). При кожному с (2.16) дає інтегральну криву.

.

Дамо точне визначення загального розв(язку. Припустимо, що на D
виконуються умови теореми Пікара.

Означення 2.8.?Функцію

(2.17)

визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну
похідну по х будемо називати загальним розв(язком диференціального
рівняння (2.3) в області D, якщо рівняння (2.17) можна розв(язати
відносно с в області D

(2.18)

.

Суть означення 2.8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих
F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива
із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві
із F в сукупності покривають D, то F є розв(язком диференціального
рівняння (2.3) в області D (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Для розв(язування задачі Коші константу С

можна знайти згідно

. (2.18)

Інколи в формулі (2.17) роль С грає у0, тоді говорять, що розв(язок
представлений у формі Коші

. (2.19)

Приклад 2.2. Знайти розв(язок диференціального рівняння

В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки

— розв(язок в формі Коші.

В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (2.3) ми
отримуємо загальний розв(язок в неявній формі

, (2.20)

який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (2.3).

Означення 2.9.?Будемо називати співвідношення (2.20) загальним
розв(язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо
співвідношенням (2.20) визначається загальний розв(язок (2.17)
диференціального рівняння (2.3) в області D.

З означення випливає, що (2.18) — загальний інтеграл диференціального
рівняння (2.3) в області D.

Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих,
залежне від С, в параметричній формі.

(2.21)

Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв(язком
диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі.

Якщо в (2.21) виключити t, то отримаємо загальний розв(язок в неявній
або явній формі.

Частинні і особливі розв(язки. Знаходження кривих, підозрілих на
особливість розв(язку, по диференціальному рівнянню

Означення 2.10.?Розв(язок, який складається з точок єдиності розв(язку
задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при
фіксованому С.

Розв(язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний
розв(язок.

Означення 2.11.?Розв(язок, в кожній точці якого порушується єдиність
розв(язку задачі Коші, будемо називати особливим.

.

Існують ні частинні ні особливі розв(язки. Їх можна отримати шляхом
склеювання кусків частинних і особливих розв(язків.

Рис. 2.4

Приклад 2.3.?Знайти особливий розв(язок диференціального рівняння

,

.

— особливий розв(язок.

. Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

?вона являється інтегральною кривою;

?перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв(язку.

— особливий розв(язок.

Приклад 2.4.?Розглянемо диференціальне рівняння

не є розв(язком диференціального рівняння, тому і не є особливим
розв(язком.

. Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці
дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною
кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв(язком. Дійсно через
довільну її точку проходить по крайній мірі два розв(язки : обвідна і
сам розв(язок.

Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та
залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Нехай

(2.22)

загальний розв(язок загального диференціального рівняння (2.3) в області
D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22)
можна розв(язати відносно С

. (2.23)

приймає постійні значення на довільному частинному розв(язку з D,
причому значення постійної визначається частинним розв(язком

. (2.24)

, визначена на D і яка не зводиться до константи, називається
інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на
довільному частинному розв(язку з D, ця функція приймає постійні
значення.

— диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв(язку

(2.25)

або

(2.26)

. А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній
точці не задано.

в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в
області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального
рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.

З (2.26) випливає, що

(2.27)

Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в
смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.

Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має
безліч інтегралів.

, то

(2.28)

є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.

Доведення.

,

в області D. Маємо

(2.29)

— інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.

два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно
диференційовна функція F, що

. (2.30)

інтеграли, то

(2.31)

З (2.31) випливає, що

. (2.32)

Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи
(2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу
відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).

у

Рис. 2.1.

М(х0 , у0)

Х0

У0

х

М

У0

у

х

Х0

х

у

D

y

N1

N

x

M1

M

Похожие записи