Реферат на тему:

Числові та степеневі ряди

ПЛАН

1. Числові ряди.

2. Степеневі ряди.

1. Числові ряди

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної
кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво
відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо
S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум
асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {an}=a1,a2,…,an,…    .

називають числовим рядом, а доданок an — загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S1=a1 ;

S2=a1+a2 ;

…………..

Sn=a1+a2+…+an ;

…………….

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових
(частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду

(9.1)

Приклади.

.

.

називають мультиплікатором.

Властивості збіжних рядів

).

і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів

.

.Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

. Ряд збігається.

, то ряд є збіжним.

.

. Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

Абсолютна збіжність рядів

розбігається.

Приклади.

розбігається.

є абсолютно збіжним.

2. Степеневі ряди

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…

Приклади.

1. Степеневий ряд 1+x+x2+…+xn+… Тут усі cn=1.

2. Степеневий ряд 1-2x+3×2-4×3+5×4-… Тут cn = (-1)n((n+1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших –
розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності
степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень
|x|2 та x<-2 цей ряд розбігається. Випадки x=2 та x=-2 потрібно досліджувати окремо. Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати. Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад функцій у ряди. Теорема. Нехай у деякому околі точки x0 функція f(x) є (n+1) разів диференційовною. Тоді в цьому околі функція f(x) розкладається в такий ряд , (9.2) де точка ( належить околу точки x0 . Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)–а похідна f(n+1)(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при x(x0. Отже, . При x0=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена (9.3) Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними, можна розкладасти в степеневі ряди. Приклади. Розкласти в степеневий ряд функцію f(x)=ex. Маємо f(x)=f((x) =f((x) =…=f(n)(x) =…=ex . Далі f(0)=f((0)=f((0)=… …=f(n)(0) =…=e0=1. Отже, ) ряд збігається при будь-якому значенні x. Оскільки (sinx)(=cosx, (sinx)(=-sinx, (sinx)((=-cosx, (sinx)IV=sinx, то …= і далі ln(1 = 1, ln(1 = -1!, ln((1 = 2!, Радіус збіжності визначаємо відповідно до ознаки Д’Аламбера: , звідки умова |x|<1. Отже, R=1. Формула Тейлора справджується і для функцій від багатьох змінних. Зокрема, для функції від двох змінних f(x,y) в околі точки (0;0): (9.4)

Похожие записи