Реферат на тему:

Числові ряди. поняття збіжності ряду. Необхідна умова збіжності

Основні поняття

— деяка нескінченна послідовність чисел. Побудований із цих чисел за
допомогою знака «+» символ

(9.1)

— членами ряду; n-ий член un — називається загальним членом ряду.

Побудуємо частинні суми ряду:

(9.2)

.

Означення. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує границя
послідовності частинних сум ряду

(9.3)

називається сумою ряду, а число

— (9.4)

залишком ряду. Якщо границя Sn не існує (нескінченна), то ряд
називається розбіжним.

. Знайти загальний член ряду і дослідити ряд на збіжність.

Загальний член ряду, як правило, знаходять методом перебирання
варіантів, виходячи із аналізу заданих перших членів ряду з наступною
перевіркою його правильності.

побудований правильно.

За допомогою методу невизначених коефіцієнтів un можна розкласти на такі
дроби:

.

Часткова сума ряду Sn запишеться тоді так:

.

.

Деякі властивості збіжних рядів

Теорема 1. Якщо збігається ряд, то збігається його залишок; і навпаки,
із збіжності залишку випливає збіжність ряду.

Наслідок 1. Із розбіжності ряду випливає розбіжність його залишку, і
навпаки.

Наслідок 2. Якщо відкинути скінченну кількість перших членів ряду або
додати до нього кілька нових членів, то це не вплине на його збіжність.

Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду (9.1) помножити на сталий множник с,
то його збіжність не порушиться, а сума (9.3) помножиться на це число с:

.

.

Теорема 4. Послідовність частинних сум збіжного ряду обмежена. Це
твердження випливає зі збіжності послідовності частинних сум ряду.

.

, тобто необхідна умова збіжності ряду не виконується, то ряд
розбігається.

. Необхідна умова збіжності ряду не виконується. Ряд розбігається.

Ряд геометричної прогресії

Сума членів нескінченної геометричної прогресії є ряд виду

(9.5)

.

. Це випливає з таких міркувань:

;

.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

.

( Загальний член ряду можна записати так:

.

Достатні ознаки збіжності

для рядів з додатними членами

.

Теорема 6 (основна). Для того щоб ряд з додатними членами збігався,
необхідно і достатньо, щоб усі його частинні суми були обмеженими.

Наслідок. Для того щоб ряд з додатними членами розбігався, необхідно і
достатньо, щоб послідовність його частинних сум була необмеженою.

Теорема. 7 (ознака порівняння рядів). Якщо для рядів з додатними
членами:

(9.6)

(9.7)

то:

а) із збіжності ряду (9.7) випливає збіжність ряду (9.6);

б) із розбіжності ряду (9.6) випливає розбіжність ряду (9.7).

, то ряд (9.7) називається мажорантним відносно ряду (9.6), а ряд (9.6)
— мінорантним відносно ряду (9.7).

.

. Зауважимо, що

.

 — збігається.

, то ряди (9.6) і (9.7) збігаються або розбігаються разом.

.

 — гармонічний ряд, він є розбіжним. Обчислюємо

За ознакою порівняння (теорема 9.8) буде розбіжним і ряд

.

тоді:

ряд збігається;

ряд розбігається;

питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

.

збігається.

, тоді:

ряд збігається;

ряд розбігається;

питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

.

.

J

1/4

4

6

F

?

?

?

¬

®

0 2 R T V X |

|

~

j

AE

.

збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд Діріхле (узагальнений гармонічний
ряд)

(9.8)

:

.

встановлено в 7.3.1, таким чином, за теоремою 9.11

.

який, як тепер встановлено, буде розбіжним.

Рекомендації щодо використання ознак

збіжності рядів з додатними членами

1. Ознака Даламбера, як правило, дає результати тоді, коли загальний
член ряду є відношенням алгебраїчного і трансцендентного виразів або
відношенням трансцендентних виразів.

Якщо загальний член ряду — алгебраїчний вираз, то ознака Даламбера
питання про збіжність не вирішує.

2. Радикальна ознака Коші зручна в тому випадку, коли загальний член
ряду містить степенево-показниковий вираз.

легко інтегрується.

4. Ознака порівняння рядів може бути використана для рядів з будь-яким
загальним членом. При дослідженні ряду за допомогою ознаки порівняння
треба вибрати ряд порівняння, збіжність чи розбіжність якого відома.
Рядами порівняння зручно вибирати ряд геометричної прогресії (9.6) або
ряд Діріхле (9.8).

5. Якщо загальний член ряду — алгебраїчний вираз, тоді для дослідження
збіжності ряду зручно використовувати ознаку порівняння рядів у
граничній формі (теорема 3), як це було показано на прикладі.

6. При дослідженні збіжності рядів рекомендується така послідовність
дій: 1) встановити тип ряду (знакододатний чи знакозмінний); 2)
перевірити виконання необхідної умови збіжності; 3) використати одну із
достатніх ознак збіжності.

.

ряд знакододатний.

необхідна умова збіжності виконується (ряд може бути як збіжним, так і
розбіжним).

за ознакою Даламбера збігається.

Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна

збіжність знакозмінних рядів

Означення. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченне
число як додатних, так і від’ємних членів.

Означення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо
збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд
збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його
збіжність зумовлена достатнім спаданням за абсолютною величиною його
членів.

Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність
зумовлена не тільки спаданням за абсолютною величиною його членів, але і
взаємною компенсацією додатних і від’ємних членів ряду.

.

, причому збігається абсолютно.

Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Означення. Ряд, кожний член якого відрізняється знаком від попереднього,
називається знакопочерговим. Цей ряд має вигляд:

(9.9)

.

Теорема 13 (Лейбніца). Якщо члени знакопочергового ряду спадають за
абсолютною величиною і границя абсо-

).

Геометрична інтерпретація

Рис. 9.1

(на рис. 9.1) 0< S 

Похожие записи