Реферат на тему:

Числові ряди. Ознака збіжності рядів. (практичне заняття)

Тема: Числові ряди. Ознака збіжності рядів

М е т а: Засвоїти поняття: знакосталі та знакозмінні (знакопочергові
ряди), абсолютна та умовна збіжність рядів. Дати практику дослідження
рядів з додатними членами на збіжність за ознаками порівняння,
Даламбера, Коші, інтегральною ознакою Коші. Навчитись досліджувати
абсолютну та умовну збіжності знакочергових рядів за ознакою Лейбніца.

Література: [3,336; 7,336; 13,356; 18,204; 20,339; 22,130].

Зміст практичного заняття

Завдання 1. Перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності рядів:

;

;

;

.

Завдання 2. Використовуючи ознаку порівняння, дослідити збіжність рядів

;

;

;

.

Завдання 3. За допомогою ознаки Даламбера дослідити ряди на збіжність:

;

;

;

;

.

Завдання 4. За допомогою ознаки Коші дослідити ряди на збіжність:

;

.

Завдання 5. Використовуючи інтегральну ознаку Коші, дослідити ряди на
збіжність:

;

;

;

.

Завдання 6. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряди:

;

;

;

;

;

.

Методичні вказівки до виконання завдань

Завдання 1. При виконанні даних завдань пригадайте теорему

Теорема (про необхідну умову збіжності числових рядів):

, тобто

. (1)

Застосуйте цю теорему для перевірки необхідної умови збіжності рядів.

Завдання 2. Для виконання даних завдань застосуйте ознаку порівняння.
Нехай потрібно дослідити збіжність заданого ряду

. (2)

Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого
відома або її легко встановити:

. (3)

Зауваження. Найчастіше для порівняння беруть ряд геометричної
прогресії або узагальнений гармонічний ряд.

, тоді й ряд (2) також збігається.

, тоді й ряд (2) також розбігається.

Завдання 3. Для виконання даних завдань пригадайте ознаку:

сталу Даламбера, яку знаходять за формулою

. (4)

збігається.

цей ряд розбігається.

треба застосовувати іншу ознаку.

Завдання 4. Пригадайте ознаку Коші дослідження ряду на збіжність:

– сталу Коші, яку знаходять за формулою

. (5)

збігається.

ряд розбігається.

, то треба застосовувати іншу ознаку.

Завдання 5. Для виконання даних завдань використайте ознаку:

. Розглянемо невласний інтеграл

. (6)

Якщо цей інтеграл збігається, то числовий ряд також збігається. Якщо
інтеграл розбіжний, то числовий ряд також розбіжний.

Завдання 6. Для дослідження рядів на абсолютну та умовну збіжність
пригадайте такі поняття та означення:

Означення. Ряд, члени якого почергово мають додатний та від’ємний знаки,
називають знакозміннимми (знакопочерговими).

Такий ряд можна записати у вигляді

(7)

.

, складений з абсолютних величин знакозмінного ряду (7).

Означення. Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (7)
розбігається, а знакозмінний ряд збігається, то кажуть, що ряд (7)
збігається неабсолютно або умовно.

Абсолютну збіжність знакозмінного ряду досліджують з використанням
додатніх ознак збіжності додатних числових рядів. Умовну збіжність
знакозмінного ряду досліджують з використанням ознаки Лейбніца.

Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакозмінного ряду монотонно
спадають, тобто

,

, тобто виконується умова

,

обов’язково менше першого члена ряду.

Завдання 5. Обчислити наближено значення:

;

.

:

;

;

;

.

Завдання 7. Знайдіть частинні охідні вищих порядків.

1. Частинні похідні третього порядку для функцій:

;

;

.

.

.

.

:

;

;

;

;

;

.

Методичні вказівки до виконання завдань

всі інші аргументи слід вважати постійними величинами і тому можна
використовувати правила диференціювання та таблицю похідних функцій
однієї змінної.

Завдання 2. Знайдіть частинні похідні першого порядку вказаних функцій
та підставте їх у відповідні рівняння. Перевірте виконання тотожностей.

Завдання 3. Повний диференціал функції двох змінних знаходять за
формулою

. (1)

, то повний приріст функції двох змінних (повний диференціал) можна
записати у вигляді

. (2)

Завдання 4. пригадайте означення:

. Позначається

. (3)

Аналогічно градієнт функції трьох змінних

; (4)

; (5)

. (6)

.

Завдання 5. Заміняючи повний приріст функції повним диференціалом
(формула (2))

,

отримаємо формулу для обчислення наближеного значення двох змінних

(7)

:

, (8)

. (9)

Рівність (8) формулюється так: мішана частинна похідна другого порядку
не залежить від порядку диференціювання функції.

Ця рівність виконується, коли мішані похідні другого порядку неперервні.

.

.

При цьому похідна складної функції обчислюється так:

(10)

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 6.3

Тема: Невизначений інтеграл. Інтегрування тригонометричних функцій.
Інтегрування ірраціональних функцій

М е т а: Дати практику знаходження невизначеного інтеграла від
тригонометричних та ірраціональних функцій за допомогою деяких
спеціальних підстановок. Закріпити вміння знаходити інтеграл методом
заміни змінної та за допомогою таблиці основних інтегралів. Повторити
поняття невизначеного інтеграла, основні правила інтегрування функцій.

Література: [3, 282; 7,253; 13,271; 18,113].

Зміст практичного заняття

Завдання І. Знайти невизначені інтеграли:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Завдання ІІ. Знайти невизначені інтеграли від ірраціональних функцій:

;

;

;

;

;

;

;

; 16) EM???????†?????–????????†?????????????????

Методичні вказівки до виконання завдань

При виконанні завдань пригадайте метод заміни змінної:

Якщо для знаходження заданого інтеграла

,

тоді має місце рівність

. (*)

).

Зауваження. Якщо заміна вибрана вдало, то одержаний інтеграл буде
простішим і мета заміни досягнута.

Завдання І. При виконанні даних завдань використайте такі спеціальні
підстановки:

1. Якщо підінтегральний вираз містить корінь вигляду

,

то доцільно застосувати тригонометричну заміну

.

2. Інтегрування раціонально-тригонометричних функцій

завжди спрощує заміна

,

.

.

.

.

Завдання ІІ. При виконанні даних завдань використайте такі рекомендації
щодо замін змінних інтегрування:

Інтегрування ірраціональних функцій вигляду

спрощується в таких випадках:

.

.

Похожие записи