Пошукова робота на тему:

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно
малі і нескінченно великі величини, їх властивості. Формулювання теореми
про існування границі монотонної послідовності і функції. Порівняння
величин. Еквівалентні нескінченно малі величини.

План

· Числові послідовності.

· Границя, основні властивості.

· Границя монотонної послідовності і функції.

· Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості.

· Порівняння величин.

· Еквівалентні нескінченно малі величини.

Числові послідовності

1. Означення числової послідовності

Дамо означення нескінченної числової послідовності та опишемо деякі з
них.

Означення. Нескінченною числовою послідовністю називається сукупність
чисел, кожному з яких присвоєно певний порядковий номер

                                     (5.1)

— й, або загальний член послідовності.

Опишемо основні способи задання цього правила.

Приклади.

Відповідна числова послідовність має вигляд

.

.

-го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається
рекурентним.

.

Тоді перші члени цієї послідовності мають вигляд:

зображаються точками на числовій осі.

Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють монотонні
послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні , неспадні,   не
зростаючі послідовності.

кожний наступний член більший від попереднього. Отже, задана
послідовність є зростаюча.

.

називається спадною, якщо

є спадна.

.

то дістанемо незростаючу послідовність.

Для дальшого вивчення числових послідовностей слід ввести поняття
обмежених і необмежених послідовностей.

.

Приклади .

називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, у
противному разі – необмеженою.

Приклади .

не є обмежена .

Наведемо ще такі формулювання означення обмежених та необмежених
послідовностей .

 називається необмеженою, якщо

Приклади .

Отже, послідовність є обмежена.

Отже, задана послідовність не є обмежена .

 є обмежена і монотонна.

2. Границя числової послідовності

Дамо означення границі послідовності та розглянемо геометричну
ілюстрацію цього поняття.

виконується нерівність         

                                              (5.2)

символічно

записується так:

.       (5.3)

Р о з в ’ я з о к. Згідно з означенням границі треба показати, що

        (5.4)

 Для виконання нерівності (5.4) треба , щоб

 .

тоді

Тому нерівність

є

 

.

 може бути розміщене тільки скінчене число членів послідовності.

3. Властивості збіжних числових послідовностей

Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей,
які будемо формулювати у вигляді теорем.

Означення . Числова послідовність, яка має границю, називається збіжною,
а яка не має границі, — розбіжною.

Теорема 1. Послідовність може мати тільки одну границю.

           Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

        Зауваження . Оберненого твердження цієї теореми не існує.

але вона не має границі.

).

яка має границю, починаючи з певного номера, мають знак цієї границі.

 то

   

4. Нескінченно малі та нескінченно великі числові послідовності

Введемо поняття нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей
і встановимо зв’язок між ними.

 називається нескінченно малою, якщо

                (5.5)

називається нескінченно великою, якщо

            (5.6)

 Цей вираз записують так: 

 — нескінченно мала.

 що

                                              (5.7)

                  Зауваження. Розглянемо арифметичні операції над
числовими послідовностями: додавання, віднімання, множення та ділення.

                         (5.8)

 та

                              (5.9)

Тоді додавання, віднімання та множення послідовностей (5.8), (5.9)
виконуються додаванням, відніманням чи множенням відповідних членів цих
послідовностей.

Символічно ці дії познаються так:

                           

Теорема 2. Алгебраїчна сума двох нескінченно малих є нескінченно мала.

Наслідок 1.  Алгебраїчна сума скінченої множини нескінченно малих є
нескінченно мала.

Теорема 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на
послідовність обмежену є нескінченно мала числова послідовність.

Наслідок 2. Добуток сталої величини на нескінченно малу числову
послідовність є нескінченно мала числова послідовність.

Наслідок 3. Добуток скінченого числа нескінченно малих числових
послідовностей є нескінченно мала числова послідовність.

                

5. Основні  теореми про границі

Наведемо теореми, якими користуються для знаходження границі числових
послідовностей.

 є збіжна  послідовність, її границя дорівнює відповідній сумі границь
даних послідовностей.

   Тоді

— нескінченно малі послідовності.

Додавши почленно  ці рівності, дістанемо:

 та

Зауваження . Теорема справедлива й для випадку всякого скінченого числа
збіжних числових послідовностей.

 є збіжна послідовність, її границя дорівнює добутку границь даних
послідовностей.

 — нескінченно малі послідовності.

Із властивостей нескінченно малих виводимо, що послідовність

— нескінченно мала.

Звідси 

 Теорему доведено.

Зауваження.  Теорема справедлива й у випадку добутку всякого скінченого
числа збіжних послідовностей.           

маємо:

  

або сталий множник можна виносити за знак границі.

— натуральне число,

то

то

збігаються і її границя дорівнює відношенню

              Д о в е д е н н я. За умовою теореми

 — нескінченно малі послідовності.

— стале число.

 які задовольняють попередній нерівності. Тоді

.

 є нескінченно мала.

 Теорему доведено.

 мають скінченні границі, причому при доведенні теореми про границю
частки вважали, що границя дільника не дорівнює нулю.

 є нескінченно великі числові послідовності, тобто

 може

Приклади.

Р о з в ’ я з о к.

 Для її розкриття позбавляємося  ірраціональності у чисельнику.

 Цю, а також й інші невизначеності розглянемо в наступних параграфах.

6. Границя монотонної числової послідовності

              Основні теореми про границі дають змогу встановлювати та
знаходити числове значення границі заданої числової послідовності за  
допомогою границь інших числових послідовностей, певним чином
пов’язаних  з  розглядуваною. Проте в деяких випадках як теоретичного,
так і практичного характеру не завжди можна використати ці теореми. Тому
доводиться застосовувати інші способи, зокрема ознаки збіжності числових
послідовностей.

Теорема 1. Якщо послідовність

                                        (5.10)

 є монотонно зростаюча (спадна) і обмежена зверху (знизу), то вона
збіжна.

5. Порівняння нескінченно малих величин

            Іноді доводиться розглядати не одну, а декілька нескінченно
малих функцій в даній точці. Такі функції порівнюють між собою за
допомогою границі їх відношення. Знайти границю такого відношення за
відомими теоремами про нескінченно малі і про границі не можна. Це не
випадково. Відношення двох нескінченно малих, залежно від характеру
зміни порівнюваних між собою нескінченно малих, може вести себе
по-різному: воно може бути або величиною, що прямує до скінченої,
відмінної від нуля границі, або величиною нескінченно малою, або
нескінченно великою, або величиною, яка має границі.

.

            Означення.1.  Якщо

,

 називаються нескінченно малими однакового порядку малості.

            Приклади.  

  і

 прямують до нуля. Знайдемо

.

            2. Нехай

.

            Знайдемо

.

 на нескінченності однакового порядку малості.

,

.

            Знайдемо

.

 нескінченно малі однакового порядку малості.

Означення 2.  Якщо

,

.

Приклади. 

 в

 є нескінченно малі функції. Знайдемо

.

. Знайдемо

.

Означення 3.   Якщо

,

.

            Приклад. 

 — нескінченно малі. Знайдемо

 є нескінченно малою нижчого

.

 називаються не порівнювальними нескінченно малими.

Означення 5.    Якщо

,

.

            Приклади.

.

:

   

Похожие записи