Реферат на тему:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так і для неперервних
випадкових величин дає повну інформацію про них. Проте на практиці немає
потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні
параметри, що характеризують їх істотні ознаки. Ці параметри і називають
числовими характеристиками випадкових величин.

1. Математичне сподівання

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є
математичне сподівання.

Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом
терміна «середнє значення» випадкової величини X.

Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на
дискретному просторі ?, називається величина

. (75)

Якщо ? — обмежена множина, то

. (76)

Якщо простір ? є неперервним, то математичним сподіванням неперервної
випадкової величини Х називається величина

. (77)

Якщо ? = (– (; (), то

. (78)

Якщо ? = [a; b], то

(79)

2. Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С. (80)

Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з
імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому

М (С) = С ( 1 = С.

2. М (СХ) = СМ (Х). (81)

Для дискретної випадкової величини згідно із (75) маємо

.

Для неперервної:

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

. (82)

Для дискретної випадкової величини:

.

Для неперервної випадкової величини:

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано
таблицею:

хі – 6 – 4 2 4 6 8

рі 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2

Обчислити М (Х).

Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо

Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей

обчислити М (Х).

Розв’язання. Згідно із (79) маємо:

Приклад 3. Дано щільність імовірностей

Обчислити М (Х).

Розв’язання.

Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей

Обчислити М (Х).

Розв’язання. Для обчислення М (Х) необхідно знайти щільність
імовірностей

Тоді:

Якщо випадкова величина Х ( [а; b], то М (Х) ( [а; b], а саме:
математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься
всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.

3. Мода та медіана випадкової величини

Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе
значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе
значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f (Mо) = max.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей
називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т.
ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають
антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її
значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:

(83)

Отже, медіану визначають із рівняння (83).

Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати.
Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний
проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.

Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х
— числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок
часу. Знайти Мо.

Розв’язання.

Можливі значення випадкової величини:

Х = 0, 1, 2, 3.

Імовірності цих можливих значень такі:

p1 = (0,2)3 = 0,008;

p2 = 3р q2 = 3 ( 0,8 ( 0,04 = 0,096;

p3 = 3p2q = 3 ( 0,64 ( 0,2 = 0,384;

p4 = p3 = (0,8)3 = 0,512.

Запишемо закон таблицею:

хі 0 1 2 3

рі 0,008 0,096 0,384 0,512

Із таблиці визначаємо Мo = 3.

Отже, дістаємо одномодальний розподіл.

Приклад 6. За заданою щільністю ймовірностей

Знайти а і F(x), Mo.

Розв’язання.

За умовою нормування маємо:

Щільність імовірностей зі знайденим а матиме вигляд

Графік f(x) зображено на рис. 53.

Рис. 53

Згідно з рис. 53 маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.

Визначаємо Мe:

Отже,

Для визначення Ме застосовуємо рівняння (83):

Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:

(84)

або при Х ( [а; b]:

. (85)

Отже, Ме — можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що
пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме,
поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рівні частини.

4. Дисперсія та середнє

квадратичне відхилення

Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову
величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати
безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими
значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.

Приклад 7. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:

хі – 0,5 – 0,1 0,1 0,5

рі 0,4 0,1 0,1 0,4

уj – 100 – 80 – 10 10 10 80

pj 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,2

Обчислити М (Х) і М (Y).

Розв’язання.

Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча
можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні. Із
наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М
(X) = М (Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань
відносно М (X) та М (Y), причому Y має більший розмах розсіювання
відносно М (Y), ніж випадкова величина Х відносно М (Х). Тому
математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання
розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х
від свого математичного сподівання (Х – М (Х))

Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди
дорівнює нулю. Справді,

.

Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання
квадрата відхилення цієї величини

. (86)

Для дискретної випадкової величини Х дисперсія

; (87)

для неперервної

. (88)

Якщо Х ( [а; b],

. (89)

5. Властивості дисперсії

1. Якщо С — стала величина, то

. (90)

Справді

.

V

X

^

b

b

?????????????D ,

?

????«

??»????????«

?Т?Т??

gdo~«

gdo~«

gdo~«

gdo~«

AE

AE

gdo~«

gdo~«

gdo~«

?

?

AE

gdo~«

AE

AE

gdo~«

gdo~«

gdo~«

1/2 s

???????????«

????????????«

?

. (91)

Маємо:

3. Якщо А і В — сталі величини, то

. (92)

Адже

Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:

(93)

!

Доведення. Згідно з (86) дістаємо:

Для дискретної випадкової величини Х

; (94)

для неперервної

. (95)

Якщо Х ( [а; b], то

(96)

.

Отже, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно
свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в
деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але
в квадраті.

Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і
випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне
відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають
корінь квадратний із дисперсії:

. (97)

Приклад 8. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано
таблицею:

хі – 4 – 2 1 2 4 6

рі 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1

Обчислити D (X), ( (X).

Розв’язання. Згідно з (94) маємо:

Приклад 9. Маємо чотири електролампочки, кожна з яких має дефект з
імовірністю q = 0,1 (p = 1 – q = 0,9 — імовірність того, що в лампочці
дефект відсутній). Послідовно беруть по одній лампочці, вгвинчують у
патрон і вмикають електричний струм. Під час вмикання струму лампочка з
дефектом перегорить, і її замінять на іншу. Побудувати закон розподілу
дискретної випадкової величини Х — число лампочок, які будуть
випробувані. Обчислити ( (X).

Розв’язання. Дискретна випадкова величина Х — число лампочок, які будуть
випробувані — набуває таких можливих значень:

Обчислимо відповідні ймовірності:

Адже четверта лампочка буде випробувана, коли третя перегорить, а
четверта — ні, або коли й четверта перегорить.

У табличній формі закон розподілу Х матиме такий вигляд:

хі 1 2 3 4

рі 0,9 0,09 0,009 0,001

Далі виконуємо такі обчислення:

Приклад 10. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини
Х задано функцією

Обчислити D (X); ( (X).

Розв’язання. За заданою функцією розподілу ймовірностей подамо закон
розподілу таблицею

Приклад 11. Задано щільність імовірностей:

Обчислити D (X); ( (X). Знайти Мо; Ме.

Розв’язання.

Графік f (x) зображено на рис. 54.

Рис. 54

Отже,

Приклад 12. Задано щільність імовірностей (рис 55).

Рис. 55

Обчислити D (X); ( (X); Mе. Знайти Мо.

Розв’язання. За умовою нормування знайти ординату точки В:

.

.

.

Отже, щільність імовірностей

Знаходимо функцію розподілу ймовірностей:

Отже, функцію розподілу ймовірностей можна подати у вигляді

Графік F(x) зображено на рис. 56.

Рис. 56

Далі обчислюємо D (X):

то медіана належить проміжку [0; 4].

Далі маємо:

Мо = 0.

6. Початкові та центральні моменти

Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові
та центральні моменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають
математичне сподівання величини Х k:

. (98)

і т. д.

Для дискретної випадкової величини Х

; (99)

для неперервної

. (100)

Якщо Х ( [а; b], то

. (101)

Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від
(Х – М(Х))k:

(102)

;

.

Для дискретної випадкової величини

(103)

для неперервної

(104)

Якщо Х ( [а; b], то

. (105)

7. Асиметрія і ексцес

Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу
випадкової величини. Якщо (3 = 0, то випадкова величина Х симетрично
розподілена відносно М (Х). Оскільки (3 має розмірність випадкової
величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — ко-

ефіцієнт асиметрії:

. (106)

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення
ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність
щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою

(107)

Зауважимо, що число 3 віднімається ось чому. Для центрального закону
розподілу, так званого нормального закону, виконується рівність:

Отже, Еs = 0.

Для наочності при різних значеннях Аs, Es графіки f (x) зображені на
рис. 57 i 58.

Рис. 57 Рис. 58

Приклад 13. Задано щільність імовірностей:

Обчислити Аs, Еs.

Розв’язання.

Оскільки (3 = 0, то і Аs = 0. Отже, можливі значення випадкової величини
Х симетрично розподілені відносно М (Х) = 1. Для обчислення Еs необхідно
знайти (4 і (.

Приклад 14. За заданим законом розподілу ймовірностей

хі – 8 – 4 –1 1 4 8

pі 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1

oбчислити Аs, Еs.

Розв’язання. Скориставшись (103), (106) і (107), дістанемо:

Оскільки (3 = 0, то й Аs = 0;

ЛІТЕРАТУРА

Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное
приложение. — М.: Наука, 1988.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.

PAGE 1

Похожие записи