Реферат на тему:

Частинні похідні. Повний диференціал

Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області
визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а
аргумент y – приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають
повним приростом функції f(x,y) .

Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо

.

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на
випадок функції від n (n>2) змінних.

Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y)
називаються частинними приростами функції f(x,y) .

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за
аргументом x називається границя

(6.1)

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y
визначаєють аналогічно.

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення
:

;

.

задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

Приклади

2. Нехай Q=K0.6(L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні

(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і
праці).

3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.6(L0.4 .

(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу,
так і затрат праці).

4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :

Теорема: Якщо функція z = f(x,y) та її похідні z(x , z(y , z((xy і z((yx
неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то z((xy = z((yx .

Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму
її частинних диференціалів :

(6.2)

Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz
є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до
того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної
до кривої y = f(x) (рис. 6.9,а — б).

z y
y=f(x)

z=z(x,y)
dy

dz

dy
(x=dx

dx y
x

x

a
б

Рис. 6.9.

По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від
багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:

,

— похибки аргументів.

По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від
функцій, заданих неявно.

Приклад.

.

Маємо

Отже,

. Узявши від функції F(x,y) повний диференціал, отримуємо

.

Приклад.

Маємо

.

За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми
(частки, квоти, rate) заміни.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=10×1+15×2, де x1 та x2 -затрати
ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму
технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 (під граничною нормою
технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 в економіці розуміють
додаткову кількість ресурсу x1, яка компенсує зменшення ресурсу x2 на
одиницю). Очевидно, що ця гранична норма (MRTS) технологічної заміни в
неперервному випадку є похідною від змінної x1 за змінною x2 за умови
сталого випуску Q:

.

Отже, у разі зменшення кількості ресурсу x2 на одиницю та одночасного
збільшення ресурсу x1 на 1,5 одиниці випуск Q залишиться не змінниться
(рис. 6.10).

x2

1

x1

1,5

Рис. 6.10.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=K0,6(L0,4 (функція
Кобба-Дугласа). Гранична норма (частка) технологічної заміни праці
капіталом у цьому випадку с

.

Як бачимо із останньої формули, значення MRTS (marginal rate of
technological substitution) для функції Кобба-Дугласа залежить від
співвідношення K/L.

Похожие записи