Пошукова робота на тему:
Частинні похідні і диференціали вищих порядків.
План
Частинні похідні вищих порядків
Теорема про рівність змішаних похідних
Диференціали вищих порядків
6.11.Частинні похідні вищих порядків
. Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:
;
;
;
.
. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих
порядків.
.
Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:
.
. Одержуємо частинні похідні другого порядку:
.
В розглянутому прикладі
.
Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за
різними змінними визначає така теорема.
і в деякому її околі, то в цій точці
,
тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання
за різними змінними.
Доведення теореми опускаємо.
Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних
і для похідних більш високих порядків.
цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:
.
.
.
.
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д.
порядків. Зокрема,
.
існують. Обчислимо їх:
тощо.
.
Тоді
(6.72)
…………………………………………….
і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення
диференціалів.
Так,
). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д.
порядків не є інваріантною.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
