Пошукова робота на тему:

Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

План

Частинні похідні вищих порядків

Теорема про рівність змішаних похідних

Диференціали вищих порядків

6.11.Частинні похідні вищих порядків

. Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:

;

;

;

.

. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих
порядків.

.

Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:

.

. Одержуємо частинні похідні другого порядку:

.

В розглянутому прикладі

.

Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за
різними змінними визначає така теорема.

 і в деякому її околі, то в цій точці

,

тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання
за різними змінними.

Доведення теореми опускаємо.

Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних
і для похідних більш високих порядків.

 цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:

.

.

.

.

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д.
порядків. Зокрема,

.

існують. Обчислимо їх:

тощо.

.

Тоді

                     (6.72)

…………………………………………….

 і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення
диференціалів.

Так,

). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д.
порядків не є інваріантною.

Похожие записи