Реферат на тему:

Арифметичні операції над раціональними числами

Додатні числа (цілі і дробові), від’ємні числа (цілі і дробові),
від’ємні числа (цілі і дробові) і число 0 називаються раціональними
числами.

Над раціональними числами можна здійснювати арифметичні операції.

І. Додавання від’ємних раціональних числень.

Нехай підприємець у січні взяв кредит 10 тис. гривень. А у лютому ще 5
тис.грн. Тоді за січень і лютий підприємець узяв 10+5=15 (тис.грн.)
кредиту. Оскільки кредити є боргами підприємця перед банком, то будемо
позначати їх від’ємними числами – 10 тис.грн., — 5 тис.грн., — 15
тис.грн. Тоді суму кредитів у тисячах гривень за 2 місяці можна записати
так:

(-10) + (-5) -= -(?-10? + ?-5?) = — 15

Отже, сумою двох від’ємних чисел є число від’ємне, модуль якого дорівнює
сумі модулів доданків. Щоб додати два від’ємні числа треба додати їх
модулі і поставити перед одержаним числом знак «-».

У сумі від’ємних доданків перший доданок пишуть, як правило, без дужок.
Наприклад:

— 5,6 + (-3,2) = — (5,6+3,2) = -8,8

ІІ. Додавання двох чисел з різними знаками.

Нехай у січні підприємець узяв кредит 10 тис. гривень, а на початку
лютого повернув банку 10 тис.грн. Тоді розрахунок підприємця з банком у
тисячах гривень можна записати так:

-10+10=0

Числа 10 і -10 протилежні, їх сума дорівнює нулю.

Якщо у січні підприємець узяв кредит 15 тис.грн., а на початку
наступного місяця повернув банку 10 тис.грн., то його борг перед банком
становитиме 5 тис.грн.

Розрахунок підприємця з банком можна записати так:

-15 + 10 = -5

Якби в січні підприємець узяв кредит 10 тис. гривень, а на початку
лютого відніс до банку 13 тис. гривень, то підприємець не лише покрив би
борг перед банком, а й залишив на своєму рахунку 3 тис. гривень.
Розрахунок підприємця можна записати так:

-10 + 13 = 3

У рівності – 15+10 = -5 модулі доданків дорівнюють 15 і 10, модуль суми
дорівнює 5, тобто модуль суми дорівнює різниці більшого і меншого
модулів.

Знак різниці збігається зі знаком доданка, модуль якого більший. Тому
відшукання суми чисел – 15 і 10 можна записати так:

-15+10 = (?-15? — ?10?) = -(15 – 10) = -5

У рівності – 10 + 13 = 3 модуль суми знаходиться аналогічно, а знак суми
визначив додаток, що має більший модуль, тобто додаток 13 (або +13).

Отже, щоб додати два числа з різними знаками, треба від більшого модуля
відняти менший і поставити перед одержаним числом знак того доданка,
модуль якого більший.

При обчисленнях спочатку, як правило, визначають і записують знак суми,
а потім знаходять різницю модулів. Наприклад:

а) -8,4 + 6,1 = ?8,4 – 6,4? = 1,7

б) -7,8 + 9,2 = ?9,2 – 7,8? = 1,4 або коротше -7,8 + 9,2 = 9,2 – 7,8 =
1,4

в) 9,2 + (-9,8) = (9,8 – 9,2) = -0,6

Якщо до числа а додати додатне число, то одержимо число, число, більше
від а; якщо ж до числа а додати від’ємне число, то одержимо число, менше
від а.

ІІІ. Віднімання раціональних чисел

Віднімання від’ємних чисел і чисел із різними знаками має такий самий
зміст, що й віднімання додатних чисел. За допомогою віднімання знаходять
невідомий доданок за відомими сумою і одним з доданків.

Наприклад:

Оскільки -17 +(-18) = -17 – (-18)

Оскільки -17 + (-18) = -35, то – 35 – (18) = — 17

Такий же результат одержимо, якщо до числа – 35 додамо число, протилежне
числу – 18, тобто число 18. Тому різницю – 35 – (-18) можна замінити
сумою – 35 + 18, у якій до зменшуваного додається число, протилежне
від’ємнику – 35 – (-18) = -35 + 18 = -17.

Отже, щоб від одного числа відняти друге, досить до зменшуваного додати
число, протилежне від’ємнику.

Це правило віднімання можна записати так:

а- в = а + (-в)

Z

?

T ? °»ocooocoUoocoooooooocooooo

7?7E7oocoooococooococooooUooU

де а і в – будь-які раціональні числа. Зокрема а – а = а + (-а) = 0 .

Оскільки віднімання можна замінити додаванням протилежного числа, то
будь-який вирах, який містить дії додавання і віднімання, можна записати
як суму.

Наприклад, вираз – 100 – 70 є різницею чисел – 100 і 70, його можна
записати як суму чисел – 100 і -70, бо – 100 – 70 = — 100 + ?-70?. І
навпаки суму чисел – 100 і – 70 можна записати як різницю чисел –
100 і 70, тобто – 100 + (-70) = -100-70.

4. Розкриття дужок

Вираз а + (в + а) можна записати без дужок:

а + ( в+ с) = а + в + с

Цю операцію називають розкриттям дужок.

Розкриємо дужки у вираз а + (-в + с).

Оскільки – в + с = (-в) + с, то вираз а + (-в +с) можна записати так: а
+ (-в) + с. Тоді:

а + (-в + с) = а + ((-в)+ с) = а + (-в) + с = а – в + с

Отже,

а + (- в + с) = а – в + с

Вираз а – в + с можна отримати з виразу а + (- в + с) так: опустити
дужки на знак «+», що стоїть перед ними, і записати всі доданки, які
були в дужках, зі своїми знаками.

Отже, щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+», треба опустити
дужки і знак «+», що стоїть перед ними, і записати всі доданки зі своїми
знаками.

Для виразу а + (в + с) це правило також справедливе, оскільки а + (в +
с) = а + (+в + с) = а + в + с.

Розглянемо числа – 6 і 4 та протилежні їм числа 6 і – 4. Знайдемо
число. Протилежне сумі даних чисел:

— (-6 + 4) =- (-2) = 2

Обчислимо суму протилежних чисел 6 = (-4) = 2

Бачимо, що число протилежне сумі чисел дорівнює сумі протилежних чисел:

— (-6 + 4) = 6 + (-4)

Це твердження правильне для довільних раціональних чисел а і в, тобто

— (а + в) = — а + (-в) або — (а + в) = — а – в

Скориставшись правилом віднімання маємо:

а — (в + с) = а + (- (в + с) = а + ( — в – с) = а – в – с

Отже, а – (в + с) = а –в – с

Бачимо, що вираз а – в- с можна дістати з виразу а – (в + с) так:
опустити дужки та знак «-», що стоїть перед ним, і записати всі додатки,
які були в дужках, із протилежними знаками:

Отже, щоб розкрити дужки перед якими стоїть знак «-», треба опустити
дужки і знак «-», що стоїть перед ним і записати всі доданки із
протилежними знаками.

Використана література

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика.- М.: ОГИЗ, 1947.-

Задорожнова В.П., Мазуркова К.К., Сак Т.В. Математика.- К: Богдана,
2001.- 240с.

Богданович М.В., Задорожнова В.П., Сак Т.В. Математика..- К.: Освіта,
2000.- 136с.

Курант Р. и Роббинс Г. Что такое математика.- М.-Л.: ОГИЗ, 1947.-

Сніжко Наталія Вікторівна Математика.- Запоріжжя: ЗНУ, 2006.-

Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика.- М: Мир, 1966.-

Андрущенко Ів. Математика.- Київ-Відень: Видання Ів. Андрущенка, 1919.-
87с.

Спекторський Ігор Якович Дискретна математика.- К.: Політехніка, 2004.-

Кушнир И.А. Математика для поступающих в ВУЗы..- К.: Астарта, 1996.-
608c.

Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов.- СПб: ПИТЕР,
2002.- 304с.

Богданович Михайло Васильович. Математика..- К.: Освіта, 2001.- 224с.

Математика і математичне природознавство в Україні в ХХ ст..- К: Ін-тут
матем-ки НАН, 2001.- 238с.

Місюра Тетяна Володимирівна, та ін. Математика..- К.: Форум, 2001.-
256с.

Богданович Михайло Васильович Математика.- К.: Освіта, 2001.- 128с.

Похожие записи