.

8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1):

у-у1=к(х-х1)

9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2):

10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:

11. Загальне рівняння прямої:

Ах+Ву+С=0, (А2+В2(0).

12. Відстань від точки (х1,у1) до прямої Ах+Ву+С=0:

13. Рівняння кола з центром (х0,у0) і радіусом R:

(х-х0)2+(у-у0)2=R2

14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в:

(1)

Фокуси еліпса F(c;0) i F/(-c;0), де с2=а2-в2

15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):

r=a-Ex; r/=a+Ex,

— ексцентриситет еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в:

(2)

2

нерівностями a(x(b, y1(x)(y(y2(x), z1(x, y)(z(z2(x, y)

де yi(x), zі(x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл
в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна
обчислити за формулою:

.

Для заміток.

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х’=х-а, у’=у-в,

де О’ (а;в) — новий початок, (х;у) — старі координати точки, [х’;у’] —
її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х= х’cos(- у’sin(; y= x’sin(+ y’cоs(,

де (х,у) — старі координати точки, [х’,у’] — її нові координати, ( — кут
повороту.

3. Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2):

4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в
даному відношенні (:

.

При (=1, маємо координати середини відрізка:

.

5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3):

.

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в,

де к=tg( (кутовий коефіцієнт) — нахил прямої до осі Ох,

в — довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.

— тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.

Умова паралельності прямих: к/=к.

1

24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:

x=a cos t, y=b sin t.

25. Параметричні рівняння циклоїди:

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t).

II. Диференціальне числення функцій

однієї змінної.

Основні теореми про границі:

Чудові границі:

3. Зв’язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…

аргументу х:

5. Умова неперервності функції у=f(x):

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y /=f /(x) — кутовий коефіцієнт дотичної до

4

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область
S, називається число:

, (1)

де (хі, уі) є (Si (і=1, 2,…n) і d – найбільший діаметр комірок (Si.

Якщо f(x, y)(0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого
циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею
z=f(x, y).

2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається
нерівностями a(x(b, y1(x)(y(y2(x),

де y1(x),y2(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних
декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається
формулою:

.

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах ( і r,

де x=r cos(, y=rsin( має вигляд:

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:(((((,
r1(()(r(r2((), то

4. Якщо (=((х, у) – поверхнева густина пластини S, то її

(2)

25

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу
виражаються інтегралами:

де (=((х, у) – поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за

, (3)

де m – маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо (=1.

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу
виражається інтегралами:

,

де (=((х, у) – поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область
V, називається число:

, (4)

де (xi, yi, zi) є (Vi (i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок
(Vi .

Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4)
являє собою масу, що заповнює об(єм V.

.

10. Якщо область інтегрування V визначається

26

Фокуси гіперболи F(c;0) і F/(-c;0), де с2=а2+в2

17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):

r=((Ex-a), r/=((Ex+a),

— ексцентриситет гіперболи.

18. Асимптоти гіперболи (2):

.

19. Графік оберненої пропорційності

ху=с (с(0)

— рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.

20. Канонічне рівняння параболи з параметром р:

у2=2рх

Фокус параболи: F(p/2, 0): рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний
радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2).

21. Графік квадратного тричлена

у=Ах2+Вх+С

вертикальна парабола з вершиною

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у:

Прямокутні координати точки з полярними координатами

( і (.

x=( cos(, y=( sin(.

23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:

x=R cos t, y=R sin t. (t — параметр)

3

f(/(x0)=0 або f(/(x0) не існує.

б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0:

f(/(x0)=0, f(/(x0-h1)f(/(x0+h2)<0 при довільних досить малих h1>0 і
h2>0, або

f(/(x0)=0, f((/(x0)(0

12. — Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо
f((/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f((/(x)<0. Необхідна умова точки перегинy графіка функції y=f(x) при x=x0: f((/(x0)=0 або f((/(x0)не існує. Достатня умова точки перегину при х=х0: f (((x0)=0, f((/(x0-h1)f''(x0+h2)<0 при будь-яких досить малих h1>0, h2>0.

13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [(,(] і f(()f(()<0, то корінь ( рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами: (метод хорд) , де f ((()(0; f(()-f((()>0 (метод дотичних).

14. Диференціал незалежної змінної х: dx=?x. Диференціал функції
у=f(x):dy=y(dx. Зв’язок приросту ?y функції з диференціалом dy функції:

?y=dy+(?x, де (?0 при ?х?0.

Таблиця диференціалів функцій.

6

9. Таблиця 2.

Характер частинного розв(язку z-неоднорідного рівняння у((+ру(+qy=f(x)
(p i q — сталі) в залежності від правої частини f(x).

№ п/п Права частина f(x) Випадки Частинний розв(язок

1

f(x)=aemx (a,m — сталі) m2+pm+q(0,

m2+pm+q=0:

p2-4q>0,

p2-4q<0. z=Aemx, --------- z=Axemx, z=Ax2emx. 2 f(x)=Mcos(x+Nsin(x (M,N,( - сталі, ((0) p2+(q-(2)2(0, p=0, q=(2. z=Acos(x+Bsin(x, z=x(Acos(x+Bsin(x) 3 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c – сталі) q(0, q=0, p(0. z=Ax2+Bx+C, z=x(Ax2+Bx+C). A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти. Х.Криволінійні інтеграли. 1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y), взятий по кусково гладкій кривій К: x=x(t), y=y(t) (t є [(, (]), дорівнює (1) Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) (a(x(b), то 23 Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К. Якщо f(x, y) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К. 2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у), взятий по кусково гладкому шляху К: x=x(t), y=y(t) (t є [(, (]), визначається за формулою: (2) Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [(, (]), то . Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К. Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К. 3. Якщо виконується умова Х(х, у)dx+Y(x, y)dy=dU(x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і , (3) де (х1,у1) – початкова точка шляху і (х2, у2) – кінцева точка шляху. Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y). 24 графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х. Правила і формули диференціювання: а) C(=0; б) (U+V-W)(=U(+V(-W(; в) (CU)(=CU(; г) (UV)(=U(V+V(U; ; и) (хn)(=n xn-1, x(=1; і) (sin x)(=cos x; ї) (cos x)(=-sin x; й) (tg x)(=sec2x; к) (сtg х)(=-cosec2x; м) (аx)(=ax ln a, (ex)(=ex. ; 7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції: f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f(/((), де ( є (х1,х2). 8. Функія у=f(x) зростає, якщо f(/(x)>0, і спадає, якщо f((x)<0. : якщо границя з права існує. 10. Локальна формула Тейлора: де f(n)(x) існує в деякому повному околі точки х0. 11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0: 5 . . . . де ((0. Основні методи інтегрування. а) метод розкладу: , де f(x)=f1(x)+f2(x) б) метод підстановки: якщо x=((t), то в) метод інтегрування частинами: 4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F((x)=f(x), то . 5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми: 8 , (n=1, 2,…). IX.Диференціальні рівняння. 1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними. X(x)Y(y)dx+X1(x)Y1(y)dy=0 (1) Особливі розв(язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1(х)=0 і У1(у)=0. 2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0, де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв(язуються за допомогою підстановки y=u(x (u – нова функція). 3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку: a(x)y(+b(x)y+c(x)=0 можна розв(язати за допомогою підстановки y=u(v, де u – не нульовий розв(язок однорідного рівняння a(x)y(+b(x)y=0, а v – нова функція. 4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку: а) якщо y((=f(x), то загальний розв(язок: ; б) якщо y((=f(у), то загальний інтеграл: ; в) якщо y((=f(у(), то загальний інтеграл рівняння можна 21 , де у(=р. 5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку: а) якщо у((=f(x, y(), то приймаючи у(=р(х), отримуємо: ; б) якщо у((=f(у, y(), то приймаючи у(=р(у), отримуємо: . 6. Загальний розв(язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку: у((+р(х)у(+q(x)y=0 має вигляд у=С1у1+С2у2, де у1 і у2 – лінійно незалежні частинні розв(язки. 7. Загальний розв(язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку: , - загальний розв(язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв(язок даного неоднорідного рівняння. 8. Таблиця 1. Загальний вигляд розв(язків однорідного рівняння у((+ру(+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2+pk+q=0. 22 ; 12) df(u)=f((u)du. 15.Малий приріст диференційованої функції: f(x+?x)-f(x)(f((x)?x 16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d2x)=0: d2y=у''dx2. III. Інтегральне числення. (незвичайний інтеграл). 2. Основні властивості незвичайного інтеграла: (А(0) Таблиця найпростіших невизначених інтегралів. (m(-1). , (при х<0 i при x>0).

;

(a>0, a(1).

.

7

де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n).

де h=(b-a)/2.

.

.

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у
від точки х=а до точки х=b (a0) існує

Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається; б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0.

також збігається (абсолютно).

, то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… — збігається.

, якщо остання має зміст.

18

.

19. Об’єм тіла обертання:

(a 0, і протилежний до нього, якщо k < 0. (k - скаляр). ,(k,l-скаляри) є число ). = 0. . , , (( = <(a,b)), причому а, b, с - права трійк. , де i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами. являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с. , то 14 . VI. Аналітична геометрія в просторі. 1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуz є: - радіус-вектор точки М. ; cos (=ax/a; cos (=ay/a; cos (=az/a, (cos2(+cos2(+cos2(=1), де cos (, cos (, cos ( - напрямні косинуси вектора а. 3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2): . 4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}(0, що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N((r-r0)=0,…(1) де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0. В координатах рівняння (1) має вид: А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 або Ax+By+Cz+D=0 (2) де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини). 5. Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює: 6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі: r=r0+st (3) 15 де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}(0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (-(

Похожие записи