Реферат на тему:

Алгебраїчні вирази та їх перетворення

Основні поняття та формули

В алгебрі вивчаються дії з числовими та буквеними величинами, а також
розв’язання рівнянь, пов’язаних із цими діями. При цьому буквеним
величинам можуть надаватися конкретні числові значення.

Одночленом називається добуток кількох співмножників, що є числами або
буквами.

Окремі числа і букви також вважаються одночленами. Наприклад, 2bху,
–3х2z5, 6, у — одночлени.

Многочленом називається сума одночленів. Наприклад, 2bху + + 7х2 + 3 —
многочлен.

Основу всіх алгебраїчних дій становлять такі закони додавання і
множення:

Переставний закон:

а + b = b + а, аb = bа.

Сполучний закон:

(а + b) + c = а + (b + с), (аb)c = а(bс).

Розподільний закон:

(а + b)c = аc + bс.

При виконанні перетворень алгебраїчних виразів використовуються такі
підходи:

1. Зведення подібних членів. Якщо кілька доданків мають однакові буквені
частини, то їхні числові коефіцієнти додаються, а буквена частина
зберігається. Наприклад, 9а2b – 3а2b – 4а2b = (9 – – 3 – 4)a2b = 2a2b.

2. Винесення множника за дужки здійснюється на основі розподільного
закону і правил дій зі степенями. Наприклад, 4ax2y + + 3а2bху2 – 2abx2 =
ax(4xy + 3aby2 – 2bx2).

3. Розкриття дужок також здійснюється за допомогою розподільного закону.
Необхідно пам’ятати, якщо множник перед дужками має від’ємний знак, то
при їхньому розкритті змінюються знаки всіх доданків. Приклади:

2mn2(mx – 3уn3 + 5) = 2m2n2x – 6mn5у + 10mn2;

–ab(3a – 2b + 4) = –3a2b + 2ab2 – 4ab.

4. Формули скороченого множення:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2,

(а – b)2 = а2 – 2аb + b2,

(а – b)(а + b) = а2 – b2,

(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3аb2 + b3,

(а – b)3 = а3 – 3а2b + 3аb2 – b3,

(а + b)(а2 – ab + b2) = а3 + b3,

(а – b)(а2 + ab + b2) = а3 – b3.

2.2. Ділення многочленів

Однією із важливих вій в алгебрі є дія ділення многочленів.

— не нуль-многочлен.

щоб

(1)

— многочленом-остачею.

завжди виконуване, а частка і остача визначаються остаточно.

Для ділення многочлена, що залежить від однієї змінної х, на многочлен
меншого степеня використовують такий алгоритм ділення стовпчиком:

1. Розмістити доданки в многочленах у порядку спадання степеня змінної.

2. Поділити перший доданок діленого многочлена на перший доданок
дільника і результат написати в частку.

3. Помножити результат на дільник і відняти його від діленого.

4. Виконати зі здобутим після віднімання многочленом дії згідно з п. 2 і
3.

Повторювати зазначені операції доти, доки після віднімання не дістанемо
або нуль, або многочлен степеня, меншого, ніж у дільника. Цей многочлен
називається остачею.

Приклад. Виконати ділення многочленів:

(12х2 – 5х – 7х3 + 3 + 3х4) : (3 + х2 – 2х).

1. Розмістимо доданки в многочленах у порядку спадання степенів змінної
х:

12х2 – 5х – 7х3 + 3 + 3х4 = 3х4 – 7х3 + 12х2 – 5х + 3 — ділене;

3 + х2 – 2х = х2 – 2х + 3 — дільник.

2. Поділимо перший член діленого 3х4 на перший член дільника х2.
У результаті знайдемо перший член частки 3×2.

3. Помножимо 3х2 на дільник і здобутий результат 3×4 – 6х3 + 9х2
віднімемо від діленого. Дістанемо –х3 + 3×2 – 5х + 3.

4. Поділимо перший член результату –х3 на перший член дільника х2 і
знайдемо –х — другий член частки.

5. Помножимо другий член частки на дільник і знайдений добуток –х3 + 2х2
– 3х віднімемо від результату п. 3. Дістанемо х2 – 2х + 3.

6. Поділимо результат х2 – 2х + 3 на дільник х2 – 2х + 3. Дістанемо 1 —
третій член частки. Остача від ділення дорівнює 0.

Запишемо ділення у вигляді:

Отже, дістали відповідь: 3×2 – х + 1.

Приклад. Алгоритм ділення многочленів:

Отже, згідно з (1) можемо записати:

Згідно з (1) дістаємо:

(2)

— деяке число.

Рівність (2) запишемо у вигляді

і виконаємо множення у правій частині:

задані у стандартному вигляді, вважають рівними між собою, коли
тотожно рівні коефіцієнти їх подібних членів.

маємо:

…,

зручно скористатися методом, який називають схемою Горнера. Цей метод
полягає ось у чому.

У верхньому рядку записують послідовно всі коефіцієнти
многочлена-діленого. У нижньому рядку на одну позицію ліворуч від an
записують число с. Заповнюючи нижній рядок, ураховують, що старший
коефіцієнт многочлена-частки дорівнює старшому коефіцієнту
многочлена-діленого, а тому під старшим коефіцієнтом многочлена-діленого
записують цей самий коефіцієнт. Кожне наступне число нижнього рядка
знаходять додаванням до відповідного коефіцієнта верхнього рядка добутку
попереднього числа нижнього рядка і числа с. В останній позиції нижнього
рядка під вільним членом многочлена-діленого дістаємо остачу. Усі числа
нижнього рядка, крім числа с, є коефіцієнтами многочлена-частки.

схема Горнера матиме такий вигляд:

an an – 1 an – 2 … a1 a0

с bn – 1 = an bn – 2 =

= an – 1 +cbn – 1 bn – 3 = an – 2 + + cbn – 2 … b0 = a1 + cb1 R = a0 +
cb0

):

6 – 16 – 12 3

–2 6 –16 + 6 ( (–2) = – 28 –12 + (–28) ( (–2) = 44 3 +44 ( (–2) = –85

а остача дорівнює –85.

не виконуючи самого ділення.

— деяке число.

.

тобто що умова необхідна.

З теореми Безу випливають і інші наслідки. Сформулюємо їх без доведення.

не перевищує його ступеня.

.

Многочлен зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, називають
зведеним многочленом.

Для відшукання коренів многочленів можна скористатися такими теоремами.

Теорема (про дробові корені). Зведений многочлен із цілими коефіцієнтами
не може мати дробових раціональних коренів.

Теорема (про цілі корені). Кожний цілий корінь многочлена з цілими
коефіцієнтами є дільником вільного члена.

а отже, число 1 — цілий корінь многочлена.

Коефіцієнти частки знайдемо за схемою Горнера:

6 –11 6 –1

1 6 –5 1 0

.

Корінь n-го степеня з дійсного числа.Арифметичний корінь n-го степеня.
Правила дій із коренями

(читають: «корінь n-го степеня з числа а»). Згідно з визначенню кореня
n-го степеня маємо

(1)

Розглянемо приклади.

не має смислу, оскільки не існує такого дійсного числа, четвертий
степінь якого дорівнював би –625.

(парний степінь будь-якого дійсного числа невід’ємний).

Знаходження кореня n-го степеня з даного числа а називають добуванням
кореня n-го степеня з числа а. Число а, з якого добувають корінь n-го
степеня, називають підкореневим виразом, а число n — показником кореня.

.

При відшуканні кореня n-го степеня з дійсного числа слід брати до уваги
таке.

1. Корінь непарного степеня з числа а завжди існує, причому лише один;
якщо а — додатне число, то існує додатне число, яке є коренем непарного
степеня з числа а, якщо а — від’ємне число, то існує від’ємне число, яке
є коренем непарного степеня з числа а.

(від’ємний корінь).

4. Корінь парного степеня з від’ємного числа в множині дійсних чисел не
існує.

завжди має сенс і позначає невід’ємне число, n-й степінь якого
дорівнює а. Невід’ємний корінь n-го степеня з невід’ємного числа а
називають арифметичним коренем n-го степеня .

Іншими словами, невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює
невід’ємному числу а, називають арифметичним коренем n-го степеня з
числа а.

Можна довести, що арифметичний корінь з невід’ємного числа завжди існує
і єдиний.

може набувати лише невід’ємного значення; при будь-якому невід’ємному
значенні а правильна рівність

. (2)

— натуральне число, то

(3)

означатиме лише арифметичний корінь n-го степеня з невід’ємного числа
а.

N

P

^

d

l

n

p

r

t

~

?

?

?

? ¶ O u ue

hhr

?

»

&

*

L

N

P

V

X

`

b

h

j

r

t

z

|

?

?

?

?

 

E

E

I

O

O

Oe

O

TH

a

e

i

?

3u *

L

 

E

?

gdzzZ

??

??

hhr

gdzzZ

????

????

????

????l??

????

????

????l??

????

????

??

??

j

j

????

????

??

??

hhr

hhr

hhr

і читають: «корінь квадратний із 7».

Арифметичний корінь n-го степеня має властивості, які подаються такими
теоремами.

n — натуральне число, то

то

(4)

тобто при будь-якому натуральному n корінь степеня n з дробу, чисельник
якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню степеня n з
чисельника, діленому на корінь того самого степеня зі знаменника.

— натуральні числа, то

(5)

— натуральні числа, то

(6)

Іншими словами, для того щоб піднести арифметичний корінь степеня n до
натурального степеня k, достатньо піднести до степеня k підкореневий
вираз і зі здобутого результату добути корінь степеня n.

Таким чином, формули (4)—(6) визначають відповідно правила ділення
коренів, добування кореня та піднесення кореня до степеня.

Зауваження. Якщо а — невід’ємне число і n — натуральне число, то
виконується тотожність

(7)

Теорема. При будь-якому значенні а справджується тотожність

(8)

де k — натуральне число.

— натуральні числа, то

(9)

Цю властивість іноді називають основною властивістю кореня.

Користуючись цією властивістю, корені з різними показниками завжди можна
звести до одного й того самого показника.

Згідно з формулою (9) дані корені можна звести до найменшого спільного
показника, що дорівнює 6:

то

(10)

тобто щоб добути корінь зі степеня невід’ємного числа, показник якого
ділиться на показник кореня, достатньо показник підкореневого виразу
поділити на показник кореня, залишивши основу степеня незмінною.

то

Застосовуючи послідовно відомі теореми, дістаємо:

— натуральне число, то

(11)

Перетворення кореня за формулою (11) називають внесенням множника під
знак кореня.

Таке перетворення називають винесенням множника з-під знака кореня.

дістаємо:

і внесемо під знак кореня додатний множник 5:

Виносячи множник з-під знак кореня, дістаємо:

Степінь із раціональним показником

має зберігатися і для дробових показників.

то за означенням

— дробові раціональні показники, то

(1)

— раціональні числа, то

— раціональне число, то

(2)

Перетворення числових та алгебраїчних виразів

Розв’язуючи майже будь-яку задачу, доводиться виконувати ті чи інші
перетворення. Найчастіше складність самої задачі повністю визначається
ступенем складності і обсягом відповідних перетворень.

Приклади на перетворення числових і алгебраїчних виразів важливі не самі
по собі (хоча серед них багато і змістовних), а як засіб розвитку
техніки, справжньої культури, перетворень.

Зауваження. Завдання «спростити вираз» вельми поширені в курсі
елементарної математики. При цьому щоразу зрозуміло, як потрібно діяти.
Здоровий глузд підказує, який вираз простіший, а який складніший і до
якої межі слід спрощувати даний вираз.

1. Деякі практичні рекомендації. Не намагайтеся «згортати» викладки,
виконуючи водночас кілька операцій. Виконуючи обчислення і перетворення
послідовно, крок за кроком, на кожному етапі максимально спрощуючи
здобутий вираз, ви зможете мінімізувати ймовірність помилки у
перетвореннях, точніше вибрати наступну операцію і проаналізувати
альтернативні ситуації, а при потребі, якщо вибраний шлях привів у
глухий кут, — повернутися назад.

Приклад. Спростити вираз

Грубою тактичною помилкою була б спроба додати відразу всі дроби, звівши
їх до спільного знаменника. Додамо спочатку перші два:

До знайденої суми додамо третій дріб:

Очевидно, що за допомогою цього прийому можна знайти суму, подібну до
розглянутої, з будь-якою кількістю доданків.

Важливим елементом культури перетворень, необхідним для розв’язання
різноманітних задач із будь-яких розділів, є вміння розкладати на
множники ті чи інші вирази. Як правило, мети досягаємо завдяки вдалому
групуванню доданків.

Спробуємо розкласти на множники чисельник і знаменник. Почнемо з
чисельника. Маємо:

але значно важче прочитати цю рівність справа наліво.

У старих підручниках з алгебри наводиться рівність

,

правильність якої неважко перевірити. У деяких випадках вона корисна при
спрощенні виразів, що містять квадратні радикали.

дістанемо

який дорівнює 1.

2. Заміна змінних. Умовні рівності. Перехід до нових позначень, заміна
змінних — найважливіший прийом і метод, за допомогою яких розв’язуються
різні задачі як елементарної, так і вищої математики. Для деяких класів
задач цей метод детально розроблено, наприклад для рівнянь.

Заміна змінних і перехід до нових позначень можуть використовуватися як
прийом, що спрощує викладки й перетворює громіздкі алгебраїчні вирази на
компактні і доступні для огляду. Дуже важливо, щоб обидва підходи були
міцно засвоєні, оскільки ідея заміни змінних є наскрізною і в тому чи
іншому вигляді фігурує практично в усіх наступних лекціях. Обмежимося
розглядом одного прикладу.

Довести також, що із другої рівності випливає перша.

У нових позначеннях перша з даних рівностей набере вигляду

Вона легко перетворюється:

Друга рівність матиме вигляд

звідки

буде такий (перевірте!)

перетворюється до того самого вигляду, що й перша.

Наведене розв’язання містить підказку щодо іншого способу розв’язання:
ліву частину другої рівності дістаємо з лівої частини першої множенням
на

Справді,

.

.

.

Чи знаєте ви всі формули скорочення множення?

.

Вибрати вираз який не є одночленом:

;

2) 16; 4) x10.

Знайти степінь многочлена

.

.

Перевірте, чи запам’ятали ви всі поради щодо перетворення алгебраїчних
виразів.

Класифікуйте свої знання методів перетворення алгебраїчних виразів
починаючи з найпростіших.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Питання для самоперевірки

Похожие записи