Реферат на тему:
Алгебраїчні розширення числових полів
Скінченні та алгебраїчні розширення числових полів
Поняття алгебраїчного і трансцендентного чисел.
називається алгебраїчним відносно числового поля Р, якщо воно є
коренем деякого многочлена над полем Р.
Число, яке не є алгебраїчним відносно поля Р, називається
трансцендентним відносно поля Р.
=0).
Проте ірраціональні числа теж можуть бути алгебраїчними.
алгебраїчні, бо вони є коренями многочленів x2-2 i x3-7 відповідно над
полем Q.
і інші – є трансцендентними.
– корінь незвідного многочлена степеня п над полем Р:
f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0. (1)
).
відносно поля Р.
Приклад:
Мінімальним полем, яке містить число 1, є поле раціональних чисел Q,
оскільки поле Q належить усім числовим полям, а (з другого боку) ніяке
ірраціональне число не може належати всім числовим полям, бо воно не
належить числовому полю Q.
, де a, b – довільні раціональні числа.
, що результатами додавання і множення даних чисел.
.
k}. Розширення, утворене приєднанням одного числа, називається
простими.
.
, алгебраїчного відносно поля Р, називається простим алгебраїчним
розширенням поля Р.
Будова простого алгебраїчного розширення характеризується теоремою.
n-1 (2), де c0, c1,…,cn-1 – довільні числа з поля Р.
Доведення:
.
є числом виду (2), бо r(x) – многочлен степеня ? п-1.
) буде многочлен того ж виду). Оскільки f(x) – незвідний у полі Р
многочлен, то многочлен q(x) або взаємно простий з f(x), або ділиться на
f(x). але другий випадок неможливий, бо q(x) має степінь, менший ніж
степінь мінімального многочлена f(x). Тому (f, g)=1.
є числом виду (2).
).
). Теорема доведена.
, де a, b – довільні числа з поля Р.
, де a, b – раціональні числа.
, називається квадратичним розширенням поля Р.
) є квадратичним розширенням поля Q раціональних чисел, утворене
приєднанням кореня многочлена f(x)=x2-2.
3.
)?0).
Щоб позбутись ірраціональності в знаменнику, треба виконати такі
тотожні перетворення. Хід цих перетворень випливає із самого доведення
теореми 1.
, де degr
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter