Реферат на тему:

Алгебраїчні розширення числових полів

Скінченні та алгебраїчні розширення числових полів

Поняття алгебраїчного і трансцендентного чисел.

називається алгебраїчним відносно числового поля Р, якщо воно є
коренем деякого многочлена над полем Р.

Число, яке не є алгебраїчним відносно поля Р, називається
трансцендентним відносно поля Р.

=0).

Проте ірраціональні числа теж можуть бути алгебраїчними.

алгебраїчні, бо вони є коренями многочленів x2-2 i x3-7 відповідно над
полем Q.

і інші – є трансцендентними.

— корінь незвідного многочлена степеня п над полем Р:
f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0. (1)

).

відносно поля Р.

Приклад:

Мінімальним полем, яке містить число 1, є поле раціональних чисел Q,
оскільки поле Q належить усім числовим полям, а (з другого боку) ніяке
ірраціональне число не може належати всім числовим полям, бо воно не
належить числовому полю Q.

, де a, b – довільні раціональні числа.

, що результатами додавання і множення даних чисел.

.

k}. Розширення, утворене приєднанням одного числа, називається
простими.

.

, алгебраїчного відносно поля Р, називається простим алгебраїчним
розширенням поля Р.

Будова простого алгебраїчного розширення характеризується теоремою.

n-1 (2), де c0, c1,…,cn-1 – довільні числа з поля Р.

Доведення:

.

є числом виду (2), бо r(x) – многочлен степеня ? п-1.

) буде многочлен того ж виду). Оскільки f(x) – незвідний у полі Р
многочлен, то многочлен q(x) або взаємно простий з f(x), або ділиться на
f(x). але другий випадок неможливий, бо q(x) має степінь, менший ніж
степінь мінімального многочлена f(x). Тому (f, g)=1.

є числом виду (2).

).

). Теорема доведена.

, де a, b – довільні числа з поля Р.

, де a, b – раціональні числа.

, називається квадратичним розширенням поля Р.

) є квадратичним розширенням поля Q раціональних чисел, утворене
приєднанням кореня многочлена f(x)=x2-2.

3.

)?0).

Щоб позбутись ірраціональності в знаменнику, треба виконати такі
тотожні перетворення. Хід цих перетворень випливає із самого доведення
теореми 1.

, де degr

Похожие записи