Реферат на тему:

Алгебраїчні рівняння вищих степенів та їхні властивості. Розклад
многочлена на множники. Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь.
Метод Кардано для розв’язання кубічного рівняння. Уведення параметра
замість сталого коефіцієнта

Алгебраїчним рівнянням вищого степеня називається рівняння виду:

. (1)

, то рівняння називається зведеним.

Позначаємо

.

.

.

Справді, нехай

,

; r — остача.

, дістаємо:

.

Це твердження відоме під назвою теореми Безу.

З теореми Безу випливають такі наслідки:

.

2. Основна теорема алгебри (Гаусс). Будь-який многочлен

n-го степеня у множині комлексних чисел має n коренів, серед яких можуть
бути й такі, що дорівнюють один одному.

3. Будь-який многочлен n-го степеня у множині комплексних чисел можна
подати, причому єдиним способом, у вигляді

,

.

.

5. Будь-який многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має
принаймні один дійсний корінь.

Теорема (Гаусс). Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами можна розкласти
на множники з раціональними коефіцієнтами, то його можна розкласти на
множники з цілими коефіцієнтами.

Наслідок 1. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

.

Наслідок 2. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

.

Розклад многочлена на множники

Розглянемо деякі способи розкладання многочлена на множники.

Розклад на множники

за допомогою групування

Члени многочлена групуються так, щоб вони мали спільний множник, який
виноситься за дужки.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Групуємо два перші та два останні члени:

,

:

.

Приклад. Розглянемо рівняння

.

, а число 20 розіб’ємо на два доданки 16 і 4:

Рівняння розпадається на два рівняння:

.

Використання

формул скороченого множення

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Подамо ліву частину рівняння у вигляді добутку:

.

Рівняння розпадається на два рівняння:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Розкладемо ліву і праву частини рівняння на множники:

Дістанемо рівняння

,

яке розпадається на два рівняння:

,

.

Виділення повного квадрата

або куба двочлена

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Виділимо повні квадрати:

,

.

Остаточно маємо:

;

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Виділимо повний куб двочлена:

. (

У разі виділення повного куба деякі кубічні рівняння можна перетворити
до вигляду

.

Далі з розкладів

,

за формулою:

. (1)

Приклад. Розв’язати рівняння

.

згідно з формулою (1):

.

Далі, скориставшись розкладом

,

запишемо рівняння у вигляді

,

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

згідно з формулою (1):

.

Подавши початкове рівняння у вигляді

,

помноживши його на 9 і скориставшись розкладом куба суми

,

дістанемо:

,

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

згідно з формулою (*):

.

Скориставшись розкладом

,

перепишемо початкове рівняння у вигляді:

;

.

Приклад. Поділимо многочлен

:

Це ділення можна виконати за схемою Горнера:

2 – 1 1 – 4 6

х = 2 2 2 ( 2 – 1 = 3 2 ( 3 + 1 = 7 2 ( 7 – 4 = 10 2 ( 10 + 6 = 26

та остачу від ділення, що дорівнює 26, знаходимо за схемою Горнера.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

. За схемою Горнера знаходимо:

1 – 4 1 6

х = – 1 1 – 5 6 0

х = 2 1 – 3 0

х = 3 1 0

. Якщо корінь вибрано невдало, то останнє число в рядку не
дорівнюватиме нулю.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

. За схемою Горнера маємо

1 – 2 – 18 – 6 9

х = 1 1 – 1 – 19 – 25 – 16

х = – 1 1 – 3 – 15 9 0

х = 3 1 0 – 15 – 36

х = – 3 1 – 6 3 0

.

Застосування теореми Гаусса

Якщо многочлен не має раціональних коренів, то схема Горнера не
прийнятна, оскільки не можна вгадати ірраціональні корені.

У такому разі потрібно спробувати розкласти многочлен з цілими
коефіцієнтами на квадратні множники з цілими коефіцієнтами.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Це рівняння не має раціональних коренів.

Спробуємо розкласти даний многочлен на два квадратні множники з цілими
коефіцієнтами:

.

, дістаємо систему рівнянь:

,

— цілі числа. З останнього рівняння знаходимо, що можливі такі
випадки:

.

Оскільки квадратичні множники перестановочні, то випадки 1—4 повторюють
випадки 5—8. Тому розглядатимемо лише випадки 1—4.

. Із системи рівнянь

.

не є цілим числом, то розкладання на квадратичні множники з цілими
коефіцієнтами неможливе.

. З системи рівнянь

.

не є цілим числом.

. Із системи рівнянь

.

не є цілим числом.

. Із системи рівнянь

.

. Отже, маємо розклад на множники:

.

Розв’язуємо відповідні квадратні рівняння:

,

. (

Корені щойно розглянутого рівняння — ірраціональні числа. Проте
викладений спосіб розкладання на множники можна застосовувати й у разі,
коли рівняння має раціональні корені.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Шукаємо розклад лівої частини рівняння на квадратні множники у вигляді:

.

:

.

, дістанемо систему рівнянь

Отже, маємо шуканий розклад на множники:

.

Остаточно маємо:

,

.

Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь

Розглянемо типи рівнянь, які зводяться до квадратних.

Двочленні рівняння

Двочленними рівняннями називають рівняння виду

.

Розв’язок рівнянь складається в розкладанні рівняння на множники.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Розкладаючи ліву частину рівняння на множники, дістаємо:

.

Тричленні рівняння

Тричленними рівняннями називають рівняння виду

.

зводимо тричленне рівняння до квадратного.

.

.

тричленне рівняння називають біквадратним.

.

.

Заміна змінної в рівнянні

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо

,

.

Повертаючись до попередніх позначень дістаємо:

.

Попереднє перетворення рівнянь

1. Рівняння вигляду

.

:

,

зводимо це рівняння до квадратного рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

.

зведемо це рівняння до квадратного рівняння:

.

Повертаючись до початкових позначень, дістаємо:

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

:

.

, послідовно дістаємо:

.

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

;

.

2. Рівняння вигляду

. (1)

Групуємо члени:

.

зводимо дане рівняння до квадратного:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Розкладемо на множники

.

, то групуємо перший і четвертий, а також другий і третій множники:

.

*

4

6

V

X

Z

\

 

?

1/4

Ue

*

¤

?

ae

??

j2

? ? ¬ ® ? O o o oe o ue 8

:

Z

\

^

`

?

?

¬

¬

®

°

?

O

U

u

ue

th

&

F

&

&

gdh#·

oe

&

F

oe

U 5

U 5

U 5

&

F

U 5

U 5

U 5

U 5

„›kd< U 5 j: ????????&? & „ j & F gdh#· „ & F j j ji jA & & F „ , дістаємо: . Повертаючись до початкових позначень, маємо: , . Приклад. Розв’язати рівняння . Щоб звести дане рівняння до рівняння виду (1), помножимо третій і четвертий множники на 2 і 6: . Оскільки 5 + 5 = 4 + 6, то групуємо перший і другий, а також третій і четвертий множники: . . Остаточно дістанемо: , . Приклад. Розв’язати рівняння . Зводимо рівняння до вигляду (1): . Оскільки – 1 – 4 = – 2 – 3, то групуємо перший і четвертий, а також другий і третій множники: . , дістанемо: . Повертаючись до початкових позначень, розв’язуємо такі рівняння: ; . 3. Рівняння виду (2) , дістанемо: . зводимо це рівняння до квадратного: . Приклад. Розв’язати рівняння . : . , дістанемо квадратне рівняння . Повертаючись до початкових позначень, остаточно знаходимо: ; . Приклад. Розв’язати рівняння . . Виконавши заміну, дістанемо рівняння виду (2): . : . . Повертаючись до початкових позначень, дістаємо: , . 4. Рівняння вигляду (3) , дістанемо: . зводиться до квадратного: . Приклад. Розв’язати рівняння . : . зводимо це рівняння до квадратного: . Повертаючись до початкових позначень, дістаємо: , . Зворотні (симетричні) рівняння Рівняння виду , (1) , дістанемо рівняння . , дістанемо квадратне рівняння відносно t: . Приклад. Розв’язати зворотне рівняння . . Дістанемо квадратне рівняння відносно t: . Повертаючись до початкових позначень, маємо: ; . Приклад. Розв’язати рівняння . зводить це рівняння до квадратного: . Повертаючись до початкових позначень, дістаємо: ; . Заміна виду . (2) Приклад. Розв’язати рівняння . Виконуємо заміну змінних: . У результаті вихідне рівняння зводиться до квадратного: . Переходячи до початкових позначень, дістаємо: ; . ( Розглянемо загальне рівняння четвертого степеня (3) і знайдемо умови, за яких можна виконати заміну виду (2). , дістанемо рівняння . , запишемо: . Отже, у рівнянні (3) можна виконати заміну (2), якщо . (4) Приклад. Розв’язати рівняння . : . дістанемо квадратне рівняння: . Повертаючись до початкових позначень, дістаємо: , . ( Алгебраїчне рівняння четвертого степеня виду (3) буде зворотним, якщо його коефіцієнти пов’язані співвідношеннями: . Справді, саме в такому разі виконується умова (4) і зворотне рівняння набирає вигляду: . , дістанемо: . зводимо рівняння до квадратного . Однорідні рівняння Означення: Рівняння виду , зведемо його до квадратного: . Приклад. Розв’язати рівняння . , дістанемо квадратне рівняння: . Повертаючись до початкових позначень, маємо: , . ( Рівняння виду , . Це рівняння зводиться до однорідного [2]. Приклад. Розв’язати рівняння . . Рівняння можна записати у вигляді , або . : . Повертаючись до початкових позначень, дістаємо: ; . Приклад. Розв’язати рівняння . Дане рівняння можна записати у вигляді однорідного: . : . , дістанемо квадратне рівняння: . Повертаємось до початкових позначень: ; . Рівняння виду . Це рівняння зводиться до біквадратного рівняння заміною . . , дістанемо рівняння . Розкриваючи дужки, маємо: . Аналогічно зважуються рівняння вищого степеня. Приклад. Розв’язати рівняння . дістаємо рівняння: , або . , дістанемо біквадратне рівняння: . Далі маємо: . Остаточно знаходимо: . Рівняння виду . Це рівняння зважується виділенням повного квадрата: ; . Приклад. Розв’язати квадратне рівняння . Запишемо рівняння у вигляді: , . , дістанемо квадратне рівняння: . Остаточно маємо: ; . Приклад. Розв’язати рівняння . Виділимо повний квадрат: , , дістанемо квадратне рівняння . Остаточно маємо: , . Метод Кардано для розв’язання кубічного рівняння Кубічне рівняння , можна звести до вигляду . : , . Рівняння зводимо до системи рівнянь із першого рівняння системи: . . Приклад. Розв’язати рівняння . , приходимо до рівняння . Зводимо рівняння до системи рівнянь . . ; . . Решту розв’язків можна знайти, скориставшись комплексними числами. Уведення параметра замість сталого коефіцієнта Метод уведення параметра — один із найважливіших методів розв’язування рівнянь третього і четвертого степеня. Параметр уводять як допоміжне невідоме, відносно якого розв’язують рівняння. Знайдені значення параметра використовують для відшукання невідомого. Приклад. Розв’язати рівняння . і дістанемо рівняння . : . Знаходимо значення параметра . ЛІТЕРАТУРА Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с. Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд. дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Похожие записи