Реферат на тему:
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей
Нехай ( – простір елементарних подій. Припустимо, що в ( виділена
система ( підмножин, яка є (-алгеброю. Це означає, що
A1) ( ( (
A2) якщо A ( (, то ? = ( \ A ( (
.
Множини з ( називають випадковими подіями. Припустимо, що кожній
випадковій події А (множині з () поставлено у відповідність число Р(А)
(назвемо його ймовірністю випадкової події А)таке,що виконані умови:
P1) Р(А) ( 0 для кожної А ( ( ;
P2) ((((=1;
.
Твердження А1, А2, А3, Р1, Р2, Р3 становлять систему аксіом теорії
ймовірностей. У такому вигляді аксіоматика теорії ймовірностей була
зформульована А.М. Колмогоровим та виявилася надзвичайно плідною для
розвитку теорії ймовірностей та цілої низки її нових розділів,
насамперед теорії випадкових процесів.
Зазначимо, що аксіоми Р1 та Р3 вказують на те, що функція множини Р(А),
визначена на ( , є мірою, що задовольняє додаткову умову Р(() = 1. Така
міра називається ймовірнісною мірою. Трійка ( ( ( (, Р (, де ( ( є
(-алгебра підмножин із (, а Р(() ( ймовірнісна міра на (, називається
ймовірнісним простором. Кажуть, що побудована ймовірнісна модель
експерименту, якщо побудовано ймовірнісний простір ( ( ( (, Р (, т.б.
вказано простір
елементарних подій (, (-алгебра ( випадкових подій та визначена
ймовірнісна міра Р(() на (.
Приклад.[1].Розглянемо стохастичний експеримент з cкінечним числом
однаково можливих елементарних подій ( = ((1, (2, …, (n(. В якості (
візьмемо (-алгебру всіх підмножин із (. Нехай Р(А) = m (n , де m ( число
елементарних подій, що входять до А. Тоді всі твердження А1, А2, А3, Р1,
Р2, Р3 виконані. Таким чином ( ( ( (, Р ( ( ймовірнісна модель даного
експерименту.
Побудова ймовірнісного простору ( ( ( (, Р ( є основним етапом в
створенні математичної моделі (формалізації) того чи іншого
експеримента.
Задача.За допомогою аксіом теорії ймовірностей довести, що а) Р(() =
0;
б) Р(?) = 1 – Р(А); в) якщо А(В, то Р(А) ( Р(В); г) Р(А) ( 1 для
кожної випадкової події. Розв’язування.
а) Р(() = 0. Це випливає із рівності ( ( ( ( ( властивостей
ймовірності Р 2 та Р3.
б) Р(?) = 1 – Р(А). Так як ( ( ? ( ( та ( ( ? ( (, то згідно аксіомі
Р3 маємо, що Р(А) + Р(?) = Р((). Тому Р(?) = 1 – Р(А).
в) якщо А(В, то Р(А) ( Р(В). Дійсно, так як
В = ( ( ?В й ( ( ? В = (, то за аксіомою Р3 Р(В) = =Р(() + Р(?В).
Звідки Р(В) ( Р(А), так як Р(? В) ( 0.
г) Р(А) ( 1. Для цього досить скористатися розв’язком попередньої
задачі (А ( () та аксіомою Р2 ( ((((=1 ).
Теорема додавання ймовірностей
Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює
сумі ймовірностей цих подій.
Р( А ( В ) = Р ( А ) + Р ( В ).
Наслідок. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій
дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р( А1 ( А2 ( …( Аn ) = P(A1 + A2+…+ An ).
Задача1.Виконується бомбометання по трьох складах боєприпасів, причому
скидається одна бомба. Ймовірність влучити в перший склад 0,01; в другий
( 0,008; в третій ( 0,025. При влучанні в один із складів вибухнуть всі
три. Знайти ймовірність того, що склади будуть зірвані.
Розв’язування. Розглянемо події : А =(зрив складів(, А1 =(влучання
в перший склад(, А2 =(влучання в другий склад(, А3 =(влучання в третій
склад(. Очевидно А= А1 ( А2 ( А3. . Так як при скиданні однієї бомби
події А1 , А2 , А3 несумісні, то Р(А) = Р(А1) + Р( А2) + Р( А3) = 0,01
+ 0,008 + 0,025 = 0,043.
Задача 2. На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 15
підручників, причому 5 із них в перепльоті. Бібліотекар бере навмання
три підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з взятих
підручників буде в перепльоті. ( р=67/91).
Задача 3. Кругова мішень складається з трьох зон: І, ІІ, ІІІ.
Ймовірність влучання в першу зону при одному пострілі 0,15, в другу
0,23, в третю – 0,17. Знайти ймовірність промаху.
-попадання. Тоді
3- попадання відповідно в першу, другу та третю зони
3) = 0,15+0,23+0,17=0,55,
)=0,45.
).
.
Задача 6. Учасник лотереї “Спортлото” з 49 назв видів спорту (позначених
числами від 1 до 49) повинен назвати 6. Повний виграш одержує той, хто
правильно вкаже всі шість назв. Виграші одержують і ті, хто вгадає не
менше трьох назв. Обчислити ймовірність повного виграшу в спортлото.
Обчислити ймовірність того, що учасник спортлото відгадає 5, 4 і 3
назви. Яка ймовірність одержати виграш у “Спортлото”?
Теорема 2. Нехай А та В – випадкові події. Тоді ймовірність появи хоча б
однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих двох подій
без ймовірності їх сумісної появи:
(((((( ( (((( ( (((( ( ((((((
Теорема може бути узагальнена на довільне число сумісних подій.
Приклад (задача про співпадання).
На окремих картках написані числа 1, 2, …., n. Картки розташовані в
“абсолютно випадковому” порядку. Яка ймовірність того,що хоча б одне з
чисел буде на місці з таким же номером?
. Маємо :
,
…………………………
.
Використовуючи теорему2, маємо:
( 1-е-1 (
(0,63.
В частинному випадку, коли n=3, тобто для трьох сумісних подій маємо
:
((( ( ( ( С( ( (((( ( (((( +((С( ( (((((( ( ((((С( ( ((В(С( +
+ ((((((С(.
Задача . По залізничному мосту, незалежно один від одного, проводять
серійне бомбометання три літаки. Кожний з літаків скидає одну серію
бомб. Ймовірність влучання хоча б однієї бомби з серії першого літака
дорівнює 0,2, для другого ( 0,3, для третього ( 0,4. Знайти ймовірність
того, що міст буде зруйновано. Відповідь р = 0,664
В
А
В
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
