Реферат на тему:

Поняття предиката

Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як алгебра
висловлень i як формальна (аксiоматична) теорiя, є важливою i
невiд’ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак
воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних
мiркувань науки i практики.

Однiєю з причин цього є те, що у численнi висловлень будь-яке просте
висловлення розглядається як вихiдний об’єкт дослiдження, неподiльне
цiле, позбавлене частин i внутрiшньої структури, яке має лише одну
властивiсть — бути або iстинним, або хибним.

Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити
логiчнi мiркування для виведення нетривiальних правильних висновкiв з
урахуванням будови i змiсту простих висловлень, пропонується формальна
теорiя, що дiстала назву числення предикатiв.

Теорiя предикатiв починається з аналiзу граматичної будови простих
висловлень i грунтується на такому висновку: простi висловлення
виражають той факт, що деякi об’єкти (або окремий об’єкт) мають певнi
властивостi, або що цi об’єкти знаходяться мiж собою у певному
вiдношеннi.

Наприклад, в iстинному висловленнi «3 є просте число» пiдмет «3» — це
об’єкт, а присудок «є просте число» виражає деяку його властивiсть.

У латинськiй граматицi присудок називається предикатом, звiдси цей
термiн i увiйшов у математичну логiку. Головним для логiки предикатiв є
саме друга складова речення-висловлення — присудок-властивiсть. Вона
фiксується, а значення об’єкта пропонується змiнювати так, щоб кожен раз
отримувати осмисленi речення, тобто висловлення.

Наприклад, замiнюючи у наведеному вище висловленнi 3 на 1, 5, 9 або 12,
матимемо вiдповiдно такi висловлення: «1 є просте число», «5 є просте
число», «9 є просте число», «12 є просте число», з яких друге є
iстинним, а решта — хибними висловленнями.

Таким чином, можна розглянути вираз «x є просте число», який не є
висловленням, а є так званою пропозицiйною (висловлювальною) формою.
Тобто формою (або формуляром), пiсля пiдстановки в яку замiсть параметра
(змiнної) x об’єктiв (значень) з певної множини M, дiстаємо висловлення.

Аналогiчно можна трактувати, наприклад, пропозицiйнi форми «a є
українцем», «b i c є однокурсники», «c важче d», або «точка x лежить мiж
точками y i z». У першi двi з них можна пiдставляти замiсть параметрiв
a, b i c прiзвища конкретних людей. У третю замiсть c i d назви
будь-яких об’єктiв (предметiв), якi мають вагу. Для четвертої множиною M
значень змiнних x, y i z є множина точок певної прямої.

Перша з цих пропозицiйних форм задає, як i в наведенiй ранiше формi,
певну властивiсть для об’єкта a. Iншi три форми описують деякi
вiдношення мiж вiдповiдними об’єктами.

Розглянувши конкретнi приклади i коротко зупинившись на мотивацiї та
змiстовнiй iнтерпретацiї подальших понять, перейдемо до формальних
математичних означень.

n-мiсним предикатом P(x1,x2,…,xn) на множинi M називається довiльна
функцiя типу Mn(B, де B = {0,1} — бульовий (двiйковий) алфавiт.

Множина M називається предметною областю, або унiверсальною множиною, а
x1,x2,…,xn — предметними змiнними, або термами предиката P.

Множина елементiв (a1,a2,…,an)(Mn таких, що P(a1,a2,…,an) = 1
називається областю iстинностi (або характеристичною множиною) предиката
P.

Якщо P(a1,a2,…,an) = 1, то згiдно з логiчною iнтерпретацiєю будемо
говорити, що предикат P є iстинним на (a1,a2,…,an). У противному разi,
казатимемо, що предикат P є хибним.

Взагалi кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат, як
функцiю типу M1(M2(…(Mn(B, дозволивши різним його аргументам приймати
значення з рiзних множин. Iнодi це буває доцiльним; однак частiше в
логiцi предикатiв використовують наведене ранiше означення.

Неважко зрозумiти, що пропозицiйна форма є одним зi способiв задання
предиката.

Для n = 1 предикат P(x) називається одномiсним або унарним, для n = 2
P(x,y) — двомiсним або бiнарним, для n = 3 P(x,y,z) — трьохмiсним або
тернарним предикатом.

Очевидно, що коли в n-арному предикатi P(x1,x2,…,xn) зафiксувати деякi
m змiнних (тобто надати їм певних значень з множини M), то отримаємо
(n-m)-мiсний предикат на множинi M. Це дозволяє вважати висловлення
нульмiсними предикатами, якi утворено з багатомiсних предикатiв
пiдстановкою замiсть усiх їхнiх параметрів певних значень з предметної
областi. Таким чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок
предиката.

Для довiльної множини M i довiльного n iснує взаємно однозначна
вiдповiднiсть мiж сукупнiстю всiх n-мiсних предикатiв на M i множиною
всiх n-арних вiдношень на M. А саме, будь-якому предикату
P(x1,x2,…,xn) вiдповiдає вiдношення R таке, що (a1,a2,…,an)(R тодi i
тiльки тодi, коли P(a1,a2,…,an) = 1. Очевидно, що при цьому R є
областю iстинностi предиката P.

Крiм того, за будь-якою вiдповiднiстю C мiж множинами A i B (тобто
C(A(B) можна побудувати бiнарний двосортний предикат P(x,y) таким чином:
P(a,b) = 1 тодi i тiльки тодi, коли (a,b)(C для a(A i b(B.

Зокрема, будь-якiй функцiональнiй вiдповiдностi або функцiї f: Mn(M
можна поставити у вiдповiднiсть (n+1)-мiсний предикат P на M такий, що
P(a1,a2,…,an,an+1) = 1 тодi i тiльки тодi, коли
f(a1,a2,…,an) = an+1.

Отже, такi фундаментальнi математичнi поняття як вiдповiднiсть (зокрема,
функцiя), вiдношення, висловлення можна розглядати як окремi випадки
бiльш загального поняття предиката.

Похожие записи