Реферат на тему:

Задачі нелінійного програмування. Деякі основні методи їх розв’язування
та аналізу.

План.

1. Метод множників Лагранжа.

2. Розв’язування задач з використанням методу множників Лагранжа.

3. Література

Метод множників Лагранжа

називаються множниками Лагранжа, вони складають функцію Лагранжа.

(1)

рівнянь.

(2)

. Відповідно, розв‘язавши систему рівнянь (2), одержимо всі точки, в
яких функція може мати екстремальне значення. Далі дослідження знайдених
точок проводяться так само, як у випадку безумовного екстремуму.

Таким чином, визначення екстремальних точок задачі методом множників
Лагранжа включає наступні етапи:

Складають функцію Лагранжа.

і прирівнюють їх до нуля.

розв‘язуючи систему рівнянь (2), знаходять точки в яких цільова функція
задачі може мати екстремум.

Серед точок, підозрілих на екстремум, знаходять такі, в які досягаєть
екстремум, і вираховують значення функції в цих точках.

Задача 1.

грн. Визначити, скільки виробів кожним із способів потрібно виробити,
щоб загальні затрати на виробництво продукції були мінімальними.

Розв‘язання.

Математична постановка задачі полягає у визначенні мінімального
значення функт

(3)

при умовах

(4)

(5)

Спочатку знайдемо рішення задачі, використовуючи її геометричну
інтерпретацію. Областю допустимих значень вихідної задачі є відрізок
прямої АВ (малюнок 1), а лінія рівня – округлості з центром в точці Е
(-2;-4).

A

D

B

O

(Мал. 1)

і диференціюючи рівняння округлості, маємо

Прирівнявши одержаний вираз до числа – 1, одержимо одне із рівнянь для
визначення координат точки D. Додаючи до нього рівняння прямої, на якій
лежить точка D, маємо систему

=89. Це означає, що якщо підприємство виготовить 91 виріб І
технологічним способом і 89 виробів, то загальні витрати будуть
мінімальними і складуть 17278 грн.

Розв‘яжемо тепер задачу, використовуючи метод множників Лагранжа.
Знайдемо мінімальне значення функції (3) і при умові (4), тобто без
врахування вимог невід‘ємності змінних. Для цього складемо функцію
Лагранжа

і прирівняємо їх до нуля.

і прирівнявши їх ліві частини, одержимо

, тобто одержимо координати точки D, що задовольняє умову (5). Ця
точка є підозрюваною на екстремум. Використовуючи другі частинні
похідні, можна показати, що в точці D функція f має умовний мінімум. Цей
результат був одержаний вище

:

Так само як і вище встановлюємо, що в даній точці функція f має
мінімальне значення.

Задача 2.

Знайти точки екстремуми функції при умові .

Розв‘язання.

Складемо функцію Лагранжа

і прирівняємо їх до нуля.

В результаті одержимо систему рівнянь

(6)

.

потім серед цих точок відібрати ті, координати яких задовольняють
умову зв‘язку g(X)

Похожие записи