Реферат на тему:

Цикл «поки» та його використання

1. Поки…

Приклад 1. Розглянемо дещо штучну задачу: написати цілочислову функцію з
ім’ям pow для обчислення степеня an за довільним натуральним a і n? 0.
Задача має елементарне розв’язання: an=enlna, і в тілі функції достатньо
написати pow:=round(exp(n*ln(a))). Проте невід’ємні степені цілих чисел
є цілими, тому спробуємо обійтися без нецілих виразів із функціями exp і
ln.

За означенням, an є a? a? …? a, тобто a0=1, ai=ai-1? a для i=1, 2, …
, n. Це підштовхує до спроби обчислення an шляхом багаторазового
множення на a. Спочатку шуканий степінь p=1, і треба n разів умножити
його на a. Після першого множення p=a, і треба n-1 разів умножити його
на a тощо. Перед останнім множенням p=an-1. Таким чином,

спочатку p=1 і треба виконати n множень на a, і поки залишаються
«невикористані» множники a, ми множимо p на a, одержуємо новий степінь p
і запам’ятовуємо, що «невикористаних» множників стало менше на 1.

Остання фраза, власне, і є алгоритмом обчислення an. Перекладемо його на
мову Паскаль.

Нам потрібні змінні p і a для збереження степеня і його основи, а також
змінні n і k для збереження показника степеня й кількості
«невикористаних» множників. Змінні a і n – параметри нашої функції, тому
їх початкові значення тут не важливі. Тепер алгоритм можна уточнити:

p:=1; k:=n;

поки k>0 виконувати {залишилися «невикористані» співмножники}

begin p:=p*a; k:=k-1 end

Якщо перекласти на англійську мову слова поки і виконувати як while і
do, то утвориться:

p:=1; k:=n;

while k>0 do{залишилися «невикористані» співмножники}

begin p:=p*a; k:=k-1 end

Але це вже Паскаль! Справа в тім, що вираз вигляду

while умова do оператор

називається while-оператором, або оператором циклу з перед-умовою. Вираз
«while умова do» називається заголовком циклу, «оператор» – тілом. Ми б
назвали while-оператор циклом з умовою продовження, але цей термін
дотепер у літературі не з’являвся.

Опишемо семантику оператора циклу та прокоментуємо всі ці назви.
Виконання оператора циклу починається з того, що обчислюється умова,
записана в заголовку. Якщо вона істинна, то виконується тіло циклу і
знову обчислюється умова. Якщо вона істинна, усе повторюється. Якщо ж
при черговому обчисленні умова стає хибною, то тіло циклу не виконується
і взагалі виконання оператора циклу на цьому закінчується. Зокрема, якщо
при першому обчисленні умова хибна, то тіло циклу не виконується жодного
разу.

Отже, обчислення умови й виконання тіла повторюється, тобто має
циклічний характер. Можна сказати, що обчислення умови й виконання тіла
утворюють цикл, як день і ніч, змінюючи одне одного, утворюють добу.
Істинність умови веде до продовження виконання оператора циклу, хибність
– до його завершення, тому умова називається умовою продовження. Вона
також називається перед-умовою, оскільки з її обчислення починається
черговий цикл. Останній цикл неповний – у ньому тільки обчислюється
умова (і виявляється хибною).

Оператору з перед-умовою відповідає блок-схема, зображена на рис.4.1.

Повернемося до задачі. Послідовність операторів для обчислення an при
a=2, n=3 задає процес

p:=1; k:=3;

обчислення умови k>0: true ;

p:=1*2; k:=3-1; {p=2; k=2}

обчислення умови k>0: true;

p:=2*2; k:=2-1; {p=4; k=1}

обчислення умови k>0: true;

p:=4*2; k:=1-1; {p=8; k=0}

обчислення умови k>0: false,

а при a=5, n=0 – процес

p:=1; k:=0;

обчислення умови k>0: false.

У вигляді коментарів тут указано стани пам’яті наприкінці циклів.

Запишемо, нарешті, функцію pow:

function pow(a, n:integer):integer;

var p, k: integer;

begin

p:=1; k:=n;

while k>0 do

begin p:=p*a; k:=k-1 end;

pow:=p

end;

?

Приклад 2. Розглянемо задачу: за цілим A>0 обчислити мінімальне n таке,
що n! ? A.

За означенням, n!=1? 2? …? n, тобто 1!=1, 2!=1!? 2, 3!=2!? 3 тощо,
n!=(n-1)!? n. Обчислимо 1! та порівняємо з A; якщо 1!=A, f=n! , тому значення n – шукане}

Коментар після циклу містить умову f>=A – по суті, заперечення умови
продовження f0.

У прикладі 4.2 змінна n послідовно приймала значення, що утворюють
арифметичну прогресію з першим членом 1 і різницею 1. Послідовність же
значень змінної f не була прогресією, але визначалася першим членом f1=1
і співвідношенням fn=fn-1? n при n>1.

Послідовність, члени якої задовольняють деяке рекурентне співвідношення,
також називається рекурентною.

Приклад 3. Розглянемо послідовність {f} чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ,
у якій f1=f2=1, а наступні члени задаються рекурентним співвідношенням

fn=fn-2+fn-1, n>2.

Вона називається послідовністю чисел Фібоначчі – за прізвиськом Леонардо
Пізанського, який першим її описав. За першими двома її членами можна
обчислити третій. Для обчислення четвертого перший член уже не
потрібний, тому що f4=f2+f3. Для обчислення п’ятого достатньо пам’ятати
лише третій і четвертий тощо. Обчислюючи члени послідовності один за
одним, ми дістанемося будь-якого, почавши з перших двох. При цьому
щоразу ми використовуємо лише два останніх значення і, обчисливши
наступне, «забуваємо» перше з двох використаних.

Нехай дано номер n, n>2, і треба обчислити fn. Опишемо ці обчислення. З
попередніх міркувань випливає, що потрібні дві змінні для двох сусідніх
членів і третя для наступного (назвемо їх fa, fb і fc), а також змінна m
для зберігання номера останнього з обчислених членів.

Спочатку fa=1, fb=1, m=2, (*)

потім обчислимо fc:=fa+fb і збільшимо m на 1. Якщо значення fb і fc
зробити відповідно значеннями fa і fb (fa:=fb, fb:=fc), то обчислення
четвертого члена можна задати таким самим оператором fc:=fa+fb. Отже,

поки m1.

>d для деякого d>0. Розглянемо друге з них. Оскільки в ньому вказано
два сусідніх члени, потрібні дві змінні для їх збереження, причому
обидві повинні мати різні значення вже перед першою перевіркою умови
продовження. Після того, як вона виявляється істинною, для обчислення
нового члена передостанній член уже не потрібний, тому що рекурентне
співвідношення має порядок 1. Тому в тілі циклу треба спочатку вказати
переприсвоювання, а потім обчислення нового члена. Номера членів
послідовності нас не цікавили, тому алгоритм має вигляд:

X:=(a+1)/2; Y:=0.5*(X+a/X);

while abs(X-Y)>d do

begin

X:=Y; Y:=0.5*(X+a/X);

end;

{ abs(X-Y)<=d, значення Y вважається шуканим, адже |Y-a|d за деякого d>0, то одержана сума відрізняється від sinx не більш,
ніж на d.

, де n невідомо, а відомо лише, що |an|>d, |an+1|? d. Очевидно,
sn=sn-1+an за будь-якого n>1, а s1=a1=x. Ці рівності виражають
залежність значення суми від попередньої суми і відповідного доданка,
тобто послідовність значень сум рекурентна. Помітимо, що при d<|x| доданок a1 не треба додавати до суми, і результатом повинна бути "сума без доданків". Тому до послідовності сум додамо s0=0; тепер sn=sn-1+an для n>0.

, виразивши an через an-1. Для цього у виразі для an побудуємо вираз,
яким задається an-1:

=

.

при n>1, a1=x. Запишемо одержані рекурентні співвідношення в систему:

Побудуємо за нею алгоритм обчислення. Оскільки порядок обох
співвідношень 1, достатньо двох змінних, S і A, для збереження членів
послідовностей. Спочатку A:=x; S:=0. Далі перед кожним обчисленням
S:=S+A треба спочатку перевірити, що A>d. Після додавання A до S
обчислюється новий доданок (значення A), і все повторюється. Таким
чином, цикл складений діями в такому порядку:

перевірка умови A>d,

додавання S:=S+A,

обчислення нового значення A.

Нехай змінна I зберігає номер останнього обчисленого доданка; спочатку
I=1. Оскільки при обчисленні нового доданка використовується його номер,
то цей номер треба попередньо збільшити. Тепер алгоритм очевидний:

S:=0; A:=x; I:=1;

while A>d do

begin

S:=S+A; I:=I+1;

A:=A*(-x*x)/((2*I-2)*(2*I-1));

end

{A<=d, і воно не додано до S; значення S – шукане} Оформлення цього алгоритму у вигляді функції з параметром x і розумно підібраним значенням d залишається вправою.? 3. Числа прості й не тільки Приклад 6. Напишемо функцію визначення, чи є натуральне значення її параметра, більше 1, простим числом. Як відомо, число n є простим, якщо його додатними дільниками є лише 1 і n. Число 2 просте, а n>2 просте, якщо не ділиться без остачі на жодне з
чисел 2, 3, … , n-1. Якщо ж воно ділиться хоча б на одне з них, то є не
простим, а складеним. Отже, n – просте тоді й тільки тоді, коли (n=2)
або (n>2 і n не ділиться на жодне з чисел 2, 3, … , n-1). Очевидно
також, що n – складене, якщо n>2 і ділиться хоча б на одне з чисел 2, 3,
… , n-1.

Таким чином, при n>2 треба перевірити подільність n на кожне з чисел
k=2, 3, … , n-1.

Результат перевірок можна запам’ятати у вигляді кількості d дільників
серед цих чисел. До початку перевірок d=0, тобто жодний дільник ще не
знайдений, і з кожним знайденим дільником d збільшується на 1. Тоді
умова d=0 є ознакою того, що число просте. Оформимо сказане у вигляді
алгоритму:

if n>2 then

begin

d:=0;

для всіх k=2, 3, … , n-1 перевірити, чи ділиться n на k:

якщо ділиться, то d:=d+1

if d>0 then n – складене

else n – просте

end

else n – просте

Уточнимо цей алгоритм. Нехай issimple, тобто «є_простим» – ім’я функції,
яку ми пишемо. Природно означити тип значень, що повертаються з неї, як
булів. Тоді «n – просте» і «n – складене» уточнюються як issimple:=true
і issimple:=false. На початку обчислень вважаємо, що число просте, тому
присвоюємо issimple:=true. Тоді достатньо оператора розгалуження з
умовою n>2 без else-гілки. Так само достатньо і скороченого оператора
розгалуження з умовою d>0.

Фраза «для всіх k=2, 3, … , n-1 перевірити, чи ділиться n на k» задає
повторення тих самих дій: перевірка подільності n на k та підготування
до наступної перевірки, тобто збільшення k на 1. Спочатку k=2. Умовою
продовження перевірок, очевидно, є умова k2 then

begin

d:=0; k:=2;

while k0 then issimple:=false

end

Цей алгоритм можна істотно поліпшити. Почнемо з дрібниць. За оператором
«if d>0 then …» змінній issimple фактично присвоюється значення виразу
not (d>0). Простіше написати: issimple:=not(d>0). Насправді змінна d
взагалі не потрібна. Дійсно, значенням issimple буде false, якщо хоча б
один раз виконується оператор d:=d+1. Замість нього напишемо
issimple:=false. Крім того, якщо n=2, то умова продовження k2 можна взагалі вилучити:

issimple:= true; k:= 2;

while k0. Означимо для зберігання натуральних чисел, що перебираються,
змінну m. З алгоритму випливає, що нам потрібна ще змінна для збереження
кількості простих чисел, які вже зустрілися. Нехай cs – ім’я цього
«лічильника простих чисел». Спочатку cs=1, m=2 (у значенні лічильника
враховано перше просте число 2). Далі починається цикл:

якщо умова продовження cs0):’);

readln(k);

cs:=1; m:=2;

while cs1, перевіряється подільність n на k. Якщо
ділиться, то виписується значення k і виконується ділення, інакше k
збільшується, тому що менших дільників уже бути не може.

Наведене описання обчислень уточнюється в такому вигляді:

procedure simpdivisors(n:integer);

var k:integer;

begin

k:=2;

while n>1 do

begin

if n mod k = 0 then

begin writeln(k); n:=n div k end

else k:=k+1

end

end

Похожие записи