Реферат на тему:

Тема. Системи масового обслуговування.

Задачі масового обслуговування

Задачі масового обслуговування умовно ділять на

задачі аналізу;

задачі синтезу;

Задачі аналізу використовують оцінку ефективності функціонування системи
масового обслуговування при незмінних, наперед заданих вхідних
характеристиках системи; структури системи; дисципліни обслуговування;
потоках вимог та законів розподілу часу їх обслуговування.

Задачі синтезу направлені на пошук оптимальних параметрів системи
масового обслуговування. Систему масового обслуговування в загальному
випадку можна представити як сукупність послідовно зв’язаних між собою
вхідних потоків вимог на обслуговування черг, каналів обслуговування та
вихідних потоків вимог.

Схеми системи обслуговування:

Вхідні потоки Черга Канал Вихідні
потоки

обслуговування

Випадкових характер вхідного потоку вимог, а також час обслуговування
каналів, призводить до утворення випадкового процесу, котрого потрібно
дослідити.

Класифікація систем масового обслуговування

Якщо досліджені чи задані потоки вхідних вимог, механізм (число каналів
обслуговування, час обслуговування та ін.) та дисципліна обслуговування,
то це дає базис для побудови математичної моделі системи.

В задачах аналізу систем масового обслуговування в якості основних
показників функціонування системи можуть бути використані:

ймовірність простою P0 каналу обслуговування;

ймовірність того, що в системі знаходяться n вимог (ймовірність Pn):

);

середнє число вимог, що знаходяться в черзі

, де

Nk – число каналів обслуговування.

Середній час очікування в черзі Tчерг. Для розімкнутої системи

, де

— це інтенсивність надходження потоковимог в систему.

Для замкнутої системи:

, де

m – число вимог, що потребують обслуговування.

середній час очікування вимог в системі Tсист;

середнє число вільних каналів обслуговування:

середнє число зайнятих каналів обслуговування:

Задачі аналізу одноканальних систем масового обслуговування

Як видно з приведеної класифікації систем масового обслуговування, є
велика кількість різновидностей. Обмежимось системами масового
обслуговування які найбільш часто зустрічаються.

детерміновані одноканальні

одноканальні розімкнуті з найпростішим потоком надходження вимог до
системи

одноканальні замкнуті (потік вимог Пуассоновський) – з очікуванням.

Усі ці системи можуть бути досліджені аналітичними методами,
побудованими на основі представлення процесу формування системи як
марковського процесу з неперервнім часом та детермінованим станом.

Задача аналізу детермінованої системи

Постановка задачі: нехай досліджується виробничий процес, в котрому
надходження вимог відбувається через рівні проміжки часу.

Таким чином:

також є const, і обслуговування проводиться через рівні проміжки часу

також є const)

Є один канал обслуговування, та вважається, що

(інакше черга буде безкінечно зростати)

Вважаємо також, що на початок обслуговування в системі уже знаходиться n
вимог, і необхідно визначити, через який час черга зникне:

— називається коефіцієнтом використання.

, якщо він дорівнює одиниці, то черга буде мати постійну довжину.
Схематично робота системи масового обслуговування що розглядається
представляється наступним чином:

вхідний потік вимог черга канал вихідний
потік вимог

обслуговування

перших вимог

вимог.

, після чого черга зникне.

Весь процес функціонування системи масового обслуговування можна
представити в аналітичному вигляді.

Час, через котрий черга зникне, можна навіть представити у вигляді:

Дослідження математичної моделі

Для обчислення часу, через який черга зникне необхідно розкрити
математичну модель, а саме:

можна знехтувати для спрощення, тоді можемо записати, що

Задача аналізу розімкнутої системи з очікуванням (потоки вимог
Пуасоновські)

Постановка задачі:

Нехай дана деяка система масового обслуговування, для котрої справедливі
наступні гіпотези:

ймовірність надходження вимог не залежить від прийнятого початку відліку
часу, а залежить тільки від часу періоду спостереження (потік
стаціонарний)

не надходять до систему і не покидають її одночасно 2 чи більше вимог
(потік стаціонарний)

). Потрібно визначити основні характеристики системи, а саме:

P – ймовірність простою каналу обслуговування

— ймовірність того, що в системі знаходяться n-вимог

— середнє число вимог, що знаходяться в системі

— середнє число вимог, що знаходяться в черзі

— середній час очікування вимог в системі.

Потік вимог, що володіє якостями стаціонарності, ординарності та
відсутністю післядії, називають простішим. В нашій задачі потік вимог
простіший. Основним поняттям при аналізі процесу системи масового
обслуговування є стан системи. Знаючи стан системи можна передбачити у
ймовірностному сенсі її поведінку. Простіший потік – це стаціонарний
Пуасоновський потік. Якщо всі потоки подій, що переводять систему із
одного стану до іншого являються Пуасоновськими, то для цих системи
ймовірність стану описується за допомогою систем звичайних диференційних
рівнянь. В більшості задач не прикладного характеру заміна
неПуасоновського потоку подій Пуасоновським з тими ж інтенсивностями
призводить до отримання рішення, котре мало відрізняються від істинного,
а іноді і зовсім не відрізняється. В якості критерію відмінності
реального стаціонарного потоку від Пуасоновського можна розглядати
близькість математичного очікування числа дисперсій подій, що надходять
на визначеній ділянці часу в реальному потоці.

Існує визначений математичний прийом, що значно полегшує вивід
диференційного рівняння для ймовірностного стану. Спочатку будується
розмічений граф стану з показом можливих переходів. Це полегшує
дослідження та робить його більш наглядним. Граф стану, на котрому
проставлені не тільки стрілки переходів, але й інтенсивність відповідних
потоків подій називають розміченим.

Закреслимо розмічений граф стану одноканальної розімкнутої системи
масового обслуговування з очікуванням:

……..

………

Якщо складений розмічений граф стану, то для побудови математичної
моделі, тобто для складання системи звичайних диференційних рівнянь
рекомендується використовувати наступні правила:

ймовірності перебування системі у стані n дорівнює алгебраїчній сумі
наступних величин: число величин цієї суми дорівнює числу стрілок на
графі стану системи, що з’єднує стан n з іншими станами. Якщо стрілка
направлена в стан n, то відповідна величина береться зі знаком “+” .
Якщо стрілка направлена зі стану n – то зі знаком “-“. Кожна величина
суми дорівнює добутку ймовірностей того стану, з котрого направлена
стрілка на інтенсивність потоку подій, що переводять систему по даній
стрілці.

У відповідності з розміченим графом стану, використовуючи даний стан,
запишемо систему звичайних диференційних рівнянь ймовірностей стану
таким чином:

;

Дослідження математичної моделі

Обмежемся дослідженням режиму роботи що встановився замкнутої
одноканальної системи. Тоді:

(n=0,1,…)

Дійсно, замість системи диференційних рівнянь отримуємо систему
алгебраїчних рівнянь:

Використовуючи отриману систему алгебраїчних рівнянь легко виразити
ймовірності стану системи у вигляді квадратної рекурентної формули . З
першого рівняння визначається ймовірність присутності однієї вимоги в
системі.

Із другого рівняння ймовірність присутності двох вимог в системі:

І в результаті отримуємо:

та знаходимо суму:

Використовуючи формулу геометричної прогресії отримуємо:

, сума:

Звідки ми маємо:

ймовірність простою каналу обслуговування:

вимог:

середнє число вимог, що знаходяться в системі:

Остання дужка є похідною від наступного виразу:

,

тобто цей вираз дорівнює:

В результаті отримуємо:

Далі знаходимо середнє число вимог, що знаходяться в черзі:

Знаходимо середній час очікування вимоги в системі, котрий можливо
визначити, знаючи середнє число вимог, що знаходяться в системі:

Задача аналізу замкнутої системи з очікуванням (потоки вимог
Пуасоновські)

Постановка задачі:

.

Стан системи будемо пов’язувати з числом вимог, що знаходяться в
системі. При цьому можливі два стани:

,тобто канали обслуговування простоюють.

.

Закреслимо розмічений граф стану одноканальної замкнутої системи
масового обслуговування з очікуванням:

Побудова математичної моделі

У відповідності до розміченого графа стану та використовуючи правило
Колмагорова, запишемо систему диференційних рівнянь для ймовірності
стану:

;

Обмежемся дослідженням режиму роботи системи, що встановився. Тоді:

і замість системи звичайних диференційних рівнянь ми отримуємо систему
алгебраїчних рівнянь:

неважко отримати рекурентну формулу:

……………………………………

;

вимог, складе:

Використовуючи рівність:

.

буде дорівнювати:

Середнє число вимог, що знаходяться в черзі, дорівнює:

Середній час очікування вимоги в черзі:

Середній час очікування вимоги в черзі:

.

Як можна помітити, визначення основних характеристик одноканальних
систем масового обслуговування вимагає великої обчислювальної роботи, в
зв’язку з чим всі розрахунки робляться на комп’ютері.

Задача аналізу багатоканальної системи масового обслуговування .

Задача аналізу розімкнутої системи з очікуванням ( потоки вимог
Пуасоновські)

. Середнє число вільних каналів обслуговування.

В цій задачі можливі два випадки:

— числу каналів

Закреслимо розмічений граф стану багатоканальної розімкнутої системи
масового обслуговування:

Побудова математичної моделі

У відповідності з розміченим графом стану і правилом Колмагорова
запишемо систему звичайних диференційних рівнянь для стану системи.

……………………………………………

……………………………………………

— const

і тоді замість системи звичайних диференційних рівнянь отримуємо систему
алгебраїчних рівнянь:

……………………………………..

……………………………………..

.

……………………………………….

вимог визначається за наступною формулою:

є:

;

……………………………………………

вимог визначається за наступною формулою:

маючи аналітичний вираз для всіх станів системи, а також використовуючи
очевидну рівність:

Визначимо ймовірність простою каналу обслуговування:

Ймовірність простою:

Середнє число вимог. що знаходяться в черзі, знайдемо по:

Середній час очікування заявок в черзі:

Середнє число зайнятих каналів :

Задача аналізу розімкнутої системи з відмовою (потоки вимог
Пуасонівські)

Постановка задачі:

каналів зайнятими, то вони отримують відмову та покидають систему. Ця
задача вперше розглядалася Ерлангом. Необхідно визначити

того, що всі канали обслуговування вільні;

каналів обслуговування

середнє число зайнятих каналів обслуговування

Закреслимо розімкнутий граф стану багатоканальної розімкнутої системи
масового обслуговування з відмовою:

……. ……..

……. ……..

станів системи:

всі канали вільні. Жодна вимога не обслуговується

один канал зайнятий. Обслуговується одна заявка

…………………………………………………..

вимог

…………………………………………………..

вимог.

У відповідності з розміченим графом стану, та використовуючи правило
Колмагорова, запишемо систему звичайних диференційних рівнянь для
ймовірності стану системи:

……………………………………………

…………………………………………….

, система рекурентних алгебраїчних рівнянь буде мати вигляд:

………………………………………………

………………………………………………

Аналогічно, з другого:

того, що всі канали обслуговування вільні.

каналів обслуговування, буде дорівнювати:

середнє число зайнятих каналів обслуговування:

Задача аналізу замкнутої системи з очікуванням (потоки вимог
Пуасонівські)

Постановка задачі:

.

Необхідно визначити:

Стан системи будемо пов’язувати с числом вимог, що знаходяться в
системі. При цьому можливі 2 випадки:

Закреслимо граф стану багатоканальної замкнутої системи масового
обслуговування з очікуванням

:

…………….

У відповідності з розміченим графом стану системи. та використовуючи
правило Колмагорова, запишемо диференційні рівняння для ймовірності
станів системи:

…………………………………………..

……………………………………………

Дослідження математичної моделі

, тоді

і замість системи звичайних диференційних рівнянь отримуємо систему
рекурентних алгебраїчних рівнянь, з котрих знаходяться:

, тоді:

:

Для обчислення ймовірності простою каналу обслуговування
використовується наступна рівність:

:

Далі знаходимо середнє число вимог, що очікують початок обслуговування
(довжина черги):

Далі знаходимо середній час очікування вимоги в черзі:

Середнє число вільних каналів обслуговування:

S0

Sn+1

Sn

Sn-1

S1

P1

P0

Pn-1

Pn

Pn+1

Pm-1

Pm

P0

P1

Pn-1

Pn

Pn+1

PN-1

PN

PN+1

P0

P1

Pn

PN-1

PN

P0

P1

Pn-1

Pn

Pn+1

Pn-1

Pn

Pn+1

Pm-1

Pm

Похожие записи