Реферат на тему:

Системи числення

Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел
називається системою числення. Звичайною для нас і загальноприйнятою є
позиційна десяткова система числення. Як умовні знаки для запису чисел
вживаються цифри.

Система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці
послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється, називається
непозиційною. Система числення, в якій значення кожної цифри залежить
від місця в послідовності цифр у записі числа, називається позиційною.

Щоб визначити число, недостатньо знати тип і алфавіт системи числення.
Для цього необхідно ще додати правила, які дають змогу за значеннями
цифр встановити значення числа.

Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за
допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом
можна користуватися для невеликих чисел.

Наступним кроком було винайдення спеціальних символів (цифр). У
непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає
одне й те саме число. Добре відомим прикладом непозиційної системи
числення є римська система, в якій роль цифр відіграють букви алфавіту:
І — один, V — п’ять, Х — десять, С — сто, Z — п’ятдесят, D -п’ятсот, М —
тисяча. Наприклад, 324 = СССХХІV. У непозиційній системі числення
незручно й складно виконувати арифметичні операції.

Позиційні системи числення

Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система
числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою
цієї системи є число десять. Основою системи числення називається число,
яке означає, у скільки разів одиниця наступного розрядку більше за
одиницю попереднього.

Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена
форма запису розкладу за степенями основи системи числення, наприклад

130678=1*105+3*104+0*103+6*102+7*101+8

Тут 10 є основою системи числення, а показник степеня — це номер позиції
цифри в записі числа (нумерація ведеться зліва на право, починаючи з
нуля). Арифметичні операції у цій системі виконують за правилами,
запропонованими ще в середньовіччі. Наприклад, додаючи два багатозначних
числа, застосовуємо правило додавання стовпчиком. При цьому все
зводиться до додавання однозначних чисел, для яких необхідним є знання
таблиці додавання.

Проблема вибору системи числення для подання чисел у пам’яті комп’ютера
має велике практичне значення. В разі її вибору звичайно враховуються
такі вимоги, як надійність подання чисел при використанні фізичних
елементів, економічність (використання таких систем числення, в яких
кількість елементів для подання чисел із деякого діапазону була б
мінімальною). Для зображення цілих чисел від 1 до 999 у десятковій
системі достатньо трьох розрядів, тобто трьох елементів. Оскільки кожен
елемент може перебувати в десятьох станах, то загальна кількість станів
— 30, у двійковій системі числення 99910=1111100, необхідна кількість
станів — 20 (індекс знизу зображення числа — основа системи числення). У
такому розумінні є ще більш економічна позиційна система числення —
трійкова. Так, для запису цілих чисел від 1 до у десятковій системі
числення потрібно 90 станів, у двійковій — 60, у трійковій — 57. Але
трійкова система числення не дістала поширення внаслідок труднощів
фізичної реалізації.

Тому найпоширенішою для подання чисел у пам’яті комп’ютера є двійкова
система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві
цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів. Ця
система є близькою до оптимальної за економічністю, і крім того,
таблички додавання й множення в цій системі елементарні:

> ?

ес та вмісту оперативної пам’яті комп’ютера використовують
шістнадцяткову й вісімкову системи числення. Нижче в таблиці 1 наведені
перших 16 натуральних чисел записаних в десятковій, двійковій,
вісімковій та шістнадцятковій системах числення.

Таблиця 1

10 2 8 16

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

В процесі налагодження програм та в деяких інших ситуаціях у
програмуванні актуальною є проблема переведення чисел з однієї
позиційної системи числення в іншу. Якщо основа нової системи числення
дорівнює деякому степеню старої системи числення, то алгоритм переводу
дуже простий: потрібно згрупувати справа наліво розряди в кількості, що
дорівнює показнику степеня і замінити цю групу розрядів відповідним
символом нової системи числення. Цим алгоритмом зручно користуватися
коли потрібно перевести число з двійкової системи числення у вісімкову
або шістнадцяткову. Наприклад, 101102=10 110=268, 10111002=101 1100=5C8

у двійковому відбувається за зворотнім правилом: один символ старої
системи числення заміняється групою розрядів нової системи числення, в
кількості рівній показнику степеня нової системи числення. Наприклад,
4728=100 111 010=1001110102, B516=1011 0101=101101012

Як бачимо, якщо основа однієї системи числення дорівнює деякому степеню
іншої, то перевід тривіальний. У протилежному випадкові користуються
правилами переведення числа з однієї позиційної системи числення в іншу
(найчастіше для переведення із двійкової, вісімкової та шістнадцяткової
систем числення у десяткову, і навпаки).

Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу

1. Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему
числення з основою q, використовуючи арифметику нової системи числення з
основою q, потрібно записати коефіцієнти розкладу, основи степенів і
показники степенів у системі з основою q і виконати всі дії в цій самій
системі. Очевидно, що це правило зручне при переведенні до десяткової
системи числення.

Наприклад:

з шістнадцяткової в десяткову:

92C816=9*10163+2*10162+C*10161+8*10160=
9*16103+2*16102+12*16101+8*16100=37576

з вісімкової в десяткову:

7358=7*1082+3*1081+5*1080= 7*8102+3*8101+5*8100=47710

з двійкової в десяткову:

1101001012=1*1028+1*1027+ 0*1026+1*1025+0*1024+0*1023+
1*1022+0*1021+1*1020= 1*2108+1*2107+0*2106+1*2105+
0*2104+0*2103+1*2102+0*2101+ 1*2100=42110

2. Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему
числення з основою q з використанням арифметики старої системи числення
з основою p потрібно:

для переведення цілої частини:

послідовно число, записане в системі основою p ділити на основу нової
системи числення, виділяючи остачі. Останні записані у зворотному
порядку, будуть утворювати число в новій системі числення;

для переведення дробової частини:

послідовно дробову частину множити на основу нової системи числення,
виділяючи цілі частини, які й будуть утворювати запис дробової частини
числа в новій системі числення.

Цим самим правилом зручно користуватися в разі переведення з десяткової
системи числення, тому що її арифметика для нас звичніша.

Використана література

Курс користувачів персональним комп’ютером. Автори : Г.В.Саєнко та
Т.Б.Волобуєва. 2006 рік.

Практичний курс інформатики. Автори : В.Д.Руденко; О.М.Макарчук;
М.О.Патланжоглу.

Караванова Т. П. Розвиток творчості учнів при вивченні інформатики:
Авторська програма поглибленого вивчення інформатики.—Чернівці: ОНМІПО,
2006.—44с.

Рудненко В.Д.,Макарчук О.М., Патланжоглу М.О.Практичний курс інформатики
/ За ред. Мадзігона В.М. — К.:Фенікс, 2007. -304 с.

Глушаков С.В. ,Персональний комп’ютер. Учебний
курс.-Харків:Фомо;М.:ООО.Фирма «Издательство Аст»,2004.-499с.

Гордієнко Г.В. Входження України у всесвітню систему інформації. // Нова
політика. — 1999 р. — №5 – С. 64-67.

Демінський С.О. Гроші в Мережі. // Політика і культура. — 2001. — №5
(88) / 13-19 лютого. — С. 34-36.

Демонополізація “Інтернету”. // Молода дипломатія. — 2000. — №4 (18).
– 17 с.

Інформаційна тривога. // Пробудись. — 1998. — 8 січня. – С. 3-12.

Похожие записи