.

Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 3280
Скачать документ

Коломийський коледж комп’ютерних наук

Кафедра комп’ютерних

дисциплін

Реферат з дисципліни

Алгоритми мови та програмування

Розв’язання систем

лінійних

рівнянь методом Гауса

Виконав:

Студент групи 1-кн-2

Григорчук Володимир

Прийняв:

Яремчук Богдан Ярославович

Коломия 1999

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

а) Зведення системи лнийних рівнянь до ступінчастого вигляду.

Перейдемо до вивчення питания (про розв’язування систем ліній рівнянь.
Нехай дано довільну систему т лінійних рівнянь з п невадомими.

a11x1 +a12x2 + ……+ a1nxn = b1,

a21x1 +a22x2 + ……+ a2nxn = b2,

………………………………..

am1x1 +am2x2 + …..+ amnxn = bm,

У цій системі, принаймні, один з коефіцієнтів ai1 (i = 1,2,…, m)
відмінний від нуля, бо в противному paзi система (1) не була б системою
з п невідомими. Якщо a11 = 0, а, наприклад, as1 ( 0, то переставивши
перше i s-те рівняння, дістанемо систему, еквівалентну системі (1). У
першому piвнянні цієї системи коефіцієнт при невідомому x1 буде
відмінний від нуля. Тому вважатимемо, що в системі (1) а11 ( 0.

Випишемо розширену матрицю системи (1), відокремивши для зруч-ності
вертикальною рискою стовпець вільних членів:

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 … a2n b2

………………….

am1 am2 … amn bm

Застосовуючи елементарні перетворення рядків, зведемо матрицю (2) до
ступінчатого вигляду. Дістанемо деяку ступінчасту матрицю.

?’ = (a’ik(b’i) розміру m x (n + 1). Позначимо символом S (?’) систему
лінійних рівнянь, розширеною матрицею якої е ступінчаста матриця

?’ = (a’ik(b’i).

Систему лінійних рівнянь, розширена матриця якої ступінчаста, також
називають ступінчастою. Про ступінчасту систему говорять, що вона має
ступінчастий вигляд. За теоремою 1.2 ступінчаста система S(?’)
еквівалентна системі (1).

Перетворення системи лінійних рівнянь в еквівалентну їй ступінчасту
систему називають зведенням системи лінійних рівнянь до ступінчастого
вигляду.

Отже, описаним вище способом кожну систему лінійних рівнянь можна
звести до ступінчастого вигляду. Всюди далі, говорячи про перетворення
системи лінійних рівнянь у ступінчасту систему, ми розумітимемо під цим
перетворення лінійної системи в е к в і в а л е н т –

н у їй ступінчасту систему.

б) Розв’язування системи лінійних рівнянь. Система лінійних
рівнянь (1) еквівалентна ступінчастій системі S(?’). Тому розв’язування
системи (1) зводиться до розв’язування системи S(?’). При цьому можливі
такі два випадки:

1. У розширеній матриці ?’ = (a’i(b’i) системи S(?’) є рядок, в якому
першим відмінним від нуля елементом є його .останній елемент.

2. У матриці ?’ такого рядка немає. У першому випадку в системі S(?’)
міститься рівняння вигляду 0 • x1 + 0 • x2 + … + 0 • хn = b, b ( 0
(скорочено його записують 0 = b). Оскільки жодна система чисел (l1,l2,
…, ln) не може задовольняти рівняння 0 = b (b ( 0), то система рівнянь
S(?’) несумісна.

Розглянемо другий випадок. Нехай ступінчаста матриця S(?’) містить r
ненульових рядків і перші ненульові елементи цих рядків знаходяться в
стовпцях з номерами k1 = 1, k2,k3, …,kr. З означення ступінчастої
матриці випливає, що 1 = k1 •

Наслідок 2. Сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими Їіри т І, , • 2. Розв'язати снетегу " "' ' : г 2хі+3^+5^-^Х^ 5, • • : Зл:і+4^+2хз+&»;4==—2, Хї+2.^+8хз- ^= 8, 7^+°-ї2+ ^+8Х4= 0. Розв'язання. Зведемо розширену матрицю до ступінчастого вигляду (235 2 5\ /128 —1 8\ 342 3—2І(342 3 — 2 1 1 2 8 —1 8 І ""І 2 3 5 2 5 } ^791 8 О/ \7 9 1 80/ (1 2 8—1 8\ /1 2 81 8\ 0—2—22 6 —2б| |0 —2 —22 6 — 26 \ "^ 0 —1—11 4—11 і|о О 01 2}' 0 —5 —55 15 —56/ \0 О 00 9/ Отже, задана система лінійних рівнянь перетворюється на ступінчасту систему, в якій міститься рівняння 0=9, тому вона несумісна. 3. Розв'язати систему *і+2^+3• 0—2—^—11—130-»-1 3 5 12 9 0
0128 40

_3 69 17 10 0 00 о 5 —50 ”

~1 23 45 0~ “‘1 2 3 ‘ 4 “5 0′”‘ ‘ –

0—1—2—3—90 012 390 ^ 0 0 0 —5 5
0 ->- 000—1 1 0 , -1-

0 0 0 5—50 000 000 _0 О 05—50
000 000

Отже, задана система лінійних однорідних рівнянь перетворюється на
ступінчасту

^+2^-3^+4^+5^=0, ) ,” ^.+2^з+3^+9^=0, –
^

— *-4+ •

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019