.

Пакет прикладних програм розв’язання задач для рівнянь з частинними похідними Maple (курсова робота)

Язык: украинский
Формат: курсова
Тип документа: Word Doc
0 8463
Скачать документ

Курсова робота

Пакет прикладних програм розв’язання задач для рівнянь з частинними
похідними Maple

ПЛАН

Вступ

Основні функціональні можливості середовища Maple.

Структура середовища Maple.

Основні оператори при застосуванні в рівняннях з частинними похідними.

Висновки

Література.

Вступ

Якщо потрібно швидко, якісно і без помилок розв’язати математичну
задачу, то слід звернутися до програми Maple. Також Maple швидко побудує
графік складної функції або тривимірної поверхні, чи виведе аналіз даних
у вигляді електронної таблиці. А за допомогою анімаційної графіки можна
побачити те, що не побачиш на аркуші паперу.

Maple є дуже добре продуманою програмою. Вона може використовуватись як
для простих, так і для складних обчислень. Багато найвідоміших
університетів світу використовують цю програму в навчанні та в наукових
дослідженнях. Її символьне ядро використано в програмі MatCaD.

Maple має свою власну архітектуру. Ядро, основна бібліотека і пакети –
це елементи, які разом складають Maple. У даній курсовій роботі буде
розглянуто ці елементи.

Розкрито як з допомогою Maple розв’язуються диференціальні рівняння з
частинними похідними та що являє собою пакет PDEtools, які він містить
команди. Як побудувати розв’язок у вигляді графіка.

Можливості цієї програми з кожним роком стають більшими. Розробляються
нові команди чи вдосконадюються існуючі для ще більшого полегшення
роботи в ній користувачам. Іде оснащення засобами для роботи в Internet.
Адже зв’язок користувачів цієї програми через Internet відкриває
можливість ефективного міжнародного співробітництва і спільної роботи
над великими математичними проектами.

Основні функціональні можливості середовища Maple

Maple – це програмний пакет для автоматизації символьних, числових і
графічних обчислень.

Основні можливості Maple

Можливості інтерфейсу:

робота з багатьма вікнами;

виведення графіків в окремих вікнах або у вікнах документа;

задання текстових коментарів різними шрифтами;

використання електронних таблиць;

Лінійна алгебра:

більше 100 операцій із векторами і матрицями;

розв’язування систем лінійних рівнянь;

знаходження власних значень та власних векторів матриці;

обчислення всіх елементарних функцій;

Графіка:

побудова графіків багатьох функцій;

графіки функцій у Декартовій та полярній системах координат;

графіки, які відображають розв’язки диференціальних рівнянь;

задання анімаційних графіків;

задання користувачем кольору графікам;

Математичний аналіз та диференціальні рівняння:

диференціювання функцій;

інтегрування функцій;

розклад функцій в ряди;

обчислення похідних та границь;

обчислення рядів

розв’язування звичайних диференціальних рівнянь та їх систем;

розв’язування рівнянь з частинними похідними.

Але Maple використовується не лише в математиці, але і у фізиці, хімії,
астрономії, тобто у різних галузях науки і техніки, де використовуються
математичні методи і важливо розглянути об’єкт з усіх сторін.

Maple є неоціненним помічником для студентів в вивченні різноманітних
математичних методів, вся увага зосереджується на суті методу, що
вивчається, а обчислення проводить програма.

В постановку системи аналітичних обчислень Maple входить спеціальний
пакет student, який містить великий набір функцій для виконання
студентами різноманітних математичних операцій : взяття інтеграла
частинами, заміна змінних в невизначеному та визначеному інтегралах,
відшукання максимуму та мінімуму функції та інші.

Maple дозволяє відображати графіки функцій, що задані неявно, малювати
параметрично задану криву, а також створювати і відображати стандартні
плоскі графічні об’єкти : точки, многокутники. Також ми можем створити
тривимірну поверхню і подивитися на неї з різних точок зору, повертаючи
в просторі, залити кольором.

Структура середовища Maple

Середовище Maple складається із трьох компонентів: ядра, бібліотеки та
екранного інтерфейса.

Ядро – є основним компонентом Maple,воно виконує всі види обчислень.

Бібліотеки включають вбудовані процедури, процедури, написані в
середовищі Maple на його власні мові програмування і зберігаються в
окремому файлі.

Для того щоб успішно використовувати будь-яку програму, потрібно
познайомитися з її інтерфейсом і вивчити його можливості.

Інтерфейс Maple-це вигляд середовища.

При запуску програми на екрані монітора відображається вікно інтерфейса.
З самого початку в верхній частині знаходиться заголовок вікна, тобто
це є рядок з назвою об’єкта і кнопками керування вікном.

Під заголовком вікна знаходиться рядок головного, або основного меню,
який містить такі команди :

File – робота з файлами, друк, включає такі пункти :

New – створення нового документа;

Open… – відкриття документа;

Save – збереження документа;

Save as… – збереження документа з новим іменем;

Print… – друк;

Print Setup… – встановлення параметрів друку;

Exit – вихід із програми.

Edit – Правка, дозволяє вносити поправки в робочий лист:

Cut (Ctrl + X) – вирізати виділений фрагмент в буфер;

Copy (Ctrl + C) – скопіювати виділений фрагмент в буфер;

Paste (Ctrl + V) – вставити з буфера;

Delete (Del) – удалити виділений фрагмент;

Selekt All – виділити все;

Undo – відмінити дію;

Redo – дозволяє знову виконати останню дію, відмінену командою Undo;

Find – знайти.

Format – зв’язане з заданням стилів виводу інформації :

Page Numbers… – нумерація сторінок;

Remove All – удалити із документа все:

Input – удалити рядки вводу;

Output – удалити рядки виводу;

Graphica – удалити графіки;

Fonts – змінити шрифт:

Input – змінити шрифт рядків вводу;

Output – змінити шрифт рядків виводу;

Execute Worksheet – послідовне виконання всіх команд в робочому вікні;

Text Region – перехід в текстовий режим роботи і навпаки.

View – Вид: дозволяє задати режим відображення інформації на робочому
листі:

Separator Lines (F9) – виведення на папір розділюючих ліній;

Status Line – забрати рядок статусу;

Tool Bar – включає або виключає режим відображення панелі інструментів;

Context Bar – включає або виключає режим відображення контексної панелі
інструментів.

Symbol Palette – палітра для введення символів;

Matrix Palette – палітра для введення матриці;

Show All Palettes – відображає всі палітри;

Hide All Palettes – закриває всі палітри.

Options – опції контролю режимів роботи:

Save Kernel State -контроль автоматичного збереження результатів у
файлі;

Fast Graphics Redraw – швидке перемалювання графіків;

Automatic Save Settings – автоматичне збереження налаштувань.

Insert – команди цього меню призначені для роботи з робочими листами:

Execution Group – вставка нової групи обчислень:

Before Cursor – перед курсором;

After Cursor – після курсора.

Paragraph -вставка області вводу текстових коментарів:

Before Cursor – перед курсором;

After Cursor – після курсора.

Window – команди цього меню призначені для роботи з декількома
відкритими документами в Maple:

Cascade – вікона каскадом;

Vertikal – вікна вертикально;

Close All – вікна всі відкриті закрити.

Особливістю головного меню є те, що якщо на робочому листі виділяється
графічний об’єкт, то воно змінюється відображаючи специфіку роботи з
графікою Maple. Ще однією особливістю цього меню є те, що деякі його
меню не доступні, поки на робочому листі не появиться відповідний
об’єкт, для роботи з яким вони произначені.

Нижче рядка головного меню знаходиться основна панель інструментів, що
містить кнопки, які дублюють команди основного меню, що найчастіше
використовуються. Зокрема такі як : відкрити новий файл, швидке
збереження файлу, виведення на принтер; копіювати, вирізати, вставити
фрагмент використовуючи буфера обміну. Ця панель не має властивості
адаптуватися до виділених на робочому листі об’єктів і склад її кнопок є
постійним.

Під основною панеллю інструментів розміщена контексна панель
інструментів. ЇЇ вигляд залежить від того, в якій області робочого листа
розміщений курсор і що в цій області відображається. Існує п’ять видів
контексних панелей інструментів:

для виділеного двовимірного графіка;

для виділеного тровимірного графіка;

для виділеної анімаційної графіки;

для області виводу робочого листа;

для області вводу робочого листа.

Велику частину вікна інтерфейса займає робоча область. Саме в ній
містяться робочі листи, в яких вводяться команди і відображаються
результати їх виконання. Інтерфейс Maple є багатодокументним і дозволяє
відкрити і працювати одночасно з декількома робочими листами.

В нижній частині інтерфейса розміщений рядок статусу, в якому
відображаються деякі параметри, що відносяться до системи Maple, а також
коротка інформація відносно вибраної команди меню або кнопки панелі
інструментів.

Під час роботи для всіх об’єктів робочого листа (графіка, вивід
результатів виконання команд, команда в області вводу) можна викликати
контексне меню, яке буде містити набір команд, що застосовуються до
даних об’єктів. Для цього достатньо розташувати курсор миші над
відповідним об’єктом і натиснути праву кнопку миші. Появиться контексне
меню – невелика панель з набором команд, які можна застосувати до цього
об’єкта.

Робочий лист – це основний документ, який Maple створює і з яким він
працює. При закінченні роботи його можна зберегти на диску чи відкрити
наступного разу для перегляду чи внесення змін.

Області введення та виведення

Робочий лист складається із області введення та області виведення.

Standard Math. Якщо команда не поміщається в одному рядку поля, то
Maple автоматично переносить продовження в наступний рядок і така
команда буде одним цілим.

Кожна команда повинна обов’язково закінчуватися розділовим знаком. В
Maple це є (;) і (:). Якщо після введення команди поставити (;), то в
області виведення відобразитьсяться результат. При використанні (:)
команда виконується, але результати її роботи не відображаються в
області виведення.

Результати виконання операторів, введених в області введення,
відображаються в області виведення. Виведення графіки можна здійснити в
робочий лист (режим по замовчуванню) або в окреме вікно. Для цього
потрібно виконати відповідно команди Inline і Window підменю Plot
Display меню Options. Виведення графіків в окремому вікні є корисним для
відображення проміжних результатів розрахунків, бо графічне
відображення, що знаходиться на робочому листі збільшує розмір файла при
зберіганні.

Електронна таблиця

Spreadsheet. Робиться доступним меню Spreadsheet основного меню Maple,
і на контексні панелі інструментів відображаються кнопки команд, які
призначені для роботи із електронною таблицею. Зовнішній вигляд
електронної таблиці такий самий як і Excel. Кожна клітинка має свій
адрес, який складається із ім’я стовпця та номера рядка, в яких вона
розміщена. Якщо в електронній таблиці виділена клітинка, то введення з
клавіатури направляється в неї, але в її полі не відображається, воно
відображається в полі введення контексної панелі інструментів, а сама
клітинка заштриховується перехресними лініями. Для збільшення розмірів
електронної таблиці її потрібно виділити, підвівши курсор миші до
границі електронної

Width меню Spreadsheet, що означають відповідно задання висоти і
ширини клітинок.

Before Cursor і оскільки потрібно ввести текст, то перетворим його в
текстовий коментар. Контексна панель інструментів після цих дій буде
готова до введення тексту. При вставці текстового коментаря виберем
стиль Title (Назва) та введем назву робочого листа, далі потрібно нажати
клавішу .

Довідкова система

Довідка дозволяє скоро знайти потрібну інформацію. В її основу покладено
поняття гіпертекста, тобто документа, в якому містяться посилання на
другий документ. Рухаючись по цих посиланнях можна отримати додаткову
інформацію, що доповнює чи уточнює ту, яка міститься в початковому
документі.

Гіперпосилання в гіпертекстових документах відображаються іншим кольром
і можуть бути підкреслені. В системі Maple посилання відображаються
бірюзовим кольором і підкреслені.

Документ Довідки являє собою робочий лист, який містить гіперзв’язки, що
дозволяють загрузити інші документи Довідки. Панель інструментів
довідкової системи містить кнопки, які означають: створити новий робочий
лист, вивести на друк, копіювати в буфер обміну, маштаб 100%, , маштаб
150%, маштаб 200%, перехід до попередньої сторінки, перехід на сторінку
з якої вернулися, перехід до попередньої в алфавітному порядку сторінки,
перехід до наступної в алфавітному порядку сторінки, розвернути на всю
робочу область. Також при виклику Довідки змінюється рядку головного
меню, а контексна панель інструментів стає недоступною.

В меню Edit довідкової системи є команда Copy Examples – дозволяє
скопіювати в Буфер обміну приклади, вставити їх в робочий лист. Команда
Topic Search меню Help дозволяє знайти необхідний розділ довідки: для
цього в поле Topic діалогового вікна пошуку розділа потрібно задати
декілька перших букв і в списку Matching Topics відобразяться всі
розділи, що починаються на введену послідовність букв. Команда Full Text
Search (Повний пошук тексту) дозволяє знайти всі сторінки Довідки, в
яких міститься заданий в поле Word(s) діалогового вікна цієї команди
текст, але для початку пошуку потрібно натиснути кнопку Search. Команда
History (Історія) відображає всі переглянуті в процесі роботи сторінки
Довідки і дозволяє перейти на довільну із них. При роботі з Довідкою
може бути відкрито багато довідкових сторінок і щоб закрити всі вікна
цих сторінок потрібно в меню Window вибрати команду Close All Help
(Закрити всі сторінки Довідки).

Отримати довідкову інформацію можна і не використовуючи команди меню
Help, а набравши команду ?topic, де topic означає їм’я пакета, команди
або службового слова Maple.

Об’єкти та змінні Maple

Maple має свою мову з допомогою якої відбувається діалог користувача з
системою. Базовими поняттями є об’єкти та змінні, із яких з допомогою
математичних операцій складаються вирази.

Найпростішими об’єктами є числа, константи, рядки.

Числа

Числа можуть бути цілими, звичайними дробами, радикалами, комплексними.
Перші три типи чисел дозволяють отримувати точні обчислення, без
заокруглень, а комплексні можуть бути як точними так і наближеними.

Цілі числа задаються у вигляді послідовності цифр від 0 до 9. Від’ємні
числа задаються знаком (-) перед числом. Над цілими числами виконують
такі дії як додавання (+), віднімання (-), множення (*), ділення (/) і
обчислення факторіалу (!). Також крім звичайних арифметичних дій Maple
пропонує великий набір команд, що дозволяють виконувати ще такі дії :
розклад на прості множники (ifactor), знаходження найбільшого спільного
дільника двох цілих чисел (igcd), перевіряє чи є ціле число простим
(isprime) і багато іншого. Результатом команди isprime ( ) є константа
true ( істина) і false (хибна).

Звичайні дроби задаються з допомогою ділення двох цілих чисел. Maple
автоматично здійснює скорочення дробів. Над звичайними дробами можна
виконувати всі основні арифметичні операції. Якщо потрібно результат
одержати у вигляді десяткового дробу, то треба виконати команду evalf (
).

2

wave:=diff (u(x, t), t$2)=a^2*diff (u(x, t), x$2) ;

u(x, t))

> # Загальний розв’язок хвильвого рівняння

> pdsolve (wave) ;

u(x, t) = _F1(at+x)+_F2(at-x)

> # Квазі – загальний розв’язок хвильвого рівняння методом розділення
змінних

> pdsolve (wave, HINT=X(x)*T(t));

T(t) } ]

> # Квазі – загальний розв’язок хвильового рівняння методом розділення
змінних

> # з інтегруванням отриманих звичайних диференціальних рівнянь

> pdsolve (wave, HINT=X(x)*T(t), INTEGRATE) ;

( u(x, t) = X(x) T(t)) &where

}}]

> # Побудова розв’язку у явному вигляді для квазі – загального розв’язку
>#хвильвого рівняння

> pdsolve ( wave, HINT = X(x)*T(t), build) ;

u(x, t) =

, а без нього відображаються загальні розв’язки цих звичайних
диференціальних рівнянь з довільними константами _С1, _С2, _С3 і _С4.
При використанні build отриманий розв’язок залежить від чотирьох
довільних констант і одного параметра – константи.

Після побудови загального розв’язку можна знайти частинний розв’язок
функцією plot3d ( ) із пакета plots.

> wave :=diff (u(x, t), t$2) = a^2*diff (u(x, t), x$2) ;

u(x, t))

>sol := pdsolve (wave) ;

sol := u(x, t) = _F1(at+x)+_F2(at-x)

Тепер потрібно задати явний вигляд довільних функцій загального
розв’язку _F1 і _F2, а також параметру a надати конкретне значення. Це
робиться з допомогою таких команд:

> f1:= x->exp (-x^2);

> f2:= x->piecewise (x>-1/2 and x a:= 1;

a:= 1

Команда piecewise ( ) задає кусково – неперервну функцію. ЇЇ параметри
задаються парами: перший визначає інтервал зміни незалежної змінної, а
другий значення функції на цьому інтервалі. Кусково – неперервні функції
можна інтегрувати, диференціювати, відобразити її графік.

Команди пакета PDEtools

Якщо не вдається побудувати розв’язок рівняння з частинними похідними
командою pdsolve ( ), то потрібно скористатися командами пакета PDEtools

Charstrip обчислює рівняння характеристик для заданого
диференціального рівняння з частинними похідними першого порядку.

Dchange здійснює заміну змінних.

Mapde перетворює рівняння з частинними похідними в
рівняння з частинними похідними другого вигляду, яке буде розв’язано
командою pdsolve ( ).

PDEplot будує графік розв’язку рвіняння з частинними
похідними.

Pdetest перевіряє, чи є дане рівняння рівнянням з
частинними похідними і ставить 0 якщо так.

Separability визначає, при яких умовах для даного рівняння з
частинними похідними можливе отримання повного розв’язку при розділенні
змінних у вигляді суми і добутку.

Splitsys розбиває систему диференціальних рівнянь
на незалежні між собою ситеми рівнянь.

Загальний синтаксис команди PDEplot ( ) такий:

PDEplot (PDE, inits, srange, options);

Параметром PDE задається рівняння з частинними похідними першого порядку
відносно однієї невідомої функції, залежної від n змінних. Початкові
умови визначаються параметром inits у вигляді списку із n+1 елементів,
що визначають в параметричні формі криву через яку проходить інтегральна
поверхня диференціального рівняння. Параметром srange задаються
діапазони зміни кожного параметра, використаного в початкових умовах у
вигляді s=s1…s2, t=t1…t2, …. Параметр options задає опції у
вигляді рівнянь, в яких ліва частина представляє ім’я опції, а права –
його значення.

Перелік опцій команди PDEplot ( )

Stepsize задає відстань між обчислювальними точками вздовж
кожної із характеристик .

Numsteps визначає кількість відображених точок вздовж
характеристичної лінії в кожному напрямі. ЇЇ значення в цьому випадку
задаються у вигляді двохелементного списка цілих чисел із знаком. Знак
визначає напрям. Якщо задано просто ціле число із знаком, то
характеристична крива відображається лише у напрямі, що визначається
знаком числа. По замовчуванню ця опція має значення [-10, 10].

Scene визначає, що виводиться на тривимірному
графіку. Наприклад, scene = [x1, x2, u(x1, x2)] означає, що по осі x і y
графіка відображаються незалежні змінні x1 і x2, а по вертикальній осі z
функція розв’язку.

Xi=ximin .. ximax, дозволяє визначити діапазон змінювання відображених
величин, вказаних в опції scene.

u(x1, x2, … , xn) =

u_min .. u_max

color визначається колір для замалювання
поверхні.

Basechar значення цієї опції визначає чи будуть
відображатися базові криві характеристик (проекції початкових умов на
площині x-y). Якщо її значення рівне false, то не відображаються, якщо
true – відображаються. Значенням по замовчуванні є false.

Iterations визначає кількість кроків інтегрування між
відображеними точками розв’язку. Значенням по замовчуванні є одиниця.

Застосуєм команду PDEplot ( ) для розв’язання рівняння

Приклад 1. Відображення розв’язку лінійного рівняння з частинними
похідними.

> with(PDEtools);

> eg:=y*z(x,y)*diff(z(x,y),x)+x*diff(z(x,y),y)=0;

> inits:=[s,1,s^2];

> PDEplot(eg,inits,s=-1..1,stepsize=0.1);

Початкові умови являють собою звичайну криву в просторі, яка в
наведеному прикладі є до того ж плоскою кривою. Для її задання в команді
PDEplot ( ) ми визначаєм список, який складається із трьох її координат,
що залежать від параметра s, за який прийняли незалежну змінну x.

Приклад 2. Відображення розв’язку нелінійного рівняння з частинними
похідними.

> with(PDEtools);

> pde2:=diff(u(x,y),x)^diff(u(x,y),x)=y;

>PDEplot(pde2,[cos(t),sin(t),exp(t)],Pi/4..3*Pi/4,animate=false,basechar
=true);

Висновки

У цій курсовій роботі розглядається програма під назвою Maple.

Зокрема у першому питанні викладена загальна інформація про
функціональні можливості цієї програми, тобто що вона використовується
не лише у лінійній алгебрі, математичному аналізі, диференціальних
рівняннях, при побудові різних графіків, але і при розв’язуванні задач
із фізики, хімії, астрономії.

У другому питанні розповідається про її структуру, команди основного
меню, області введення та виведення. Про те, що якщо потрібно вивести
таблицю значень деякої функції, то слід використати електронну таблицю
виконавши вказані дії чи задати заголовок робочого аркуша.

Але докладніше у третьому питанні розглядається розв’язування рівнянь з
частинними похідними з допомогою цієї програми та наводяться різні
приклади. Maple може знаходити розв’язок деяких рівнянь з частинними
похідними з допомогою команди pdsolve ( ), яка знаходиться в основній
бібліотеці. Ця команда намагається знайти загальний розв’язок рівняння,
а якщо не вдається побудувати розв’язок рівняння з частинними похідними
командою pdsolve ( ), то використовуються команди пакета PDEtools для
перетворення рівняння до вигляду, яке можна уже буде розв’язати з
допомогою команди pdsolve ( ). Цей пакет потрібно спочатку викликати з
допомогою такої команди: with(пакет). У курсовій роботі розглянуто
команди цього пакета PDEtools і особлива увага приділяється графічній
команді PDEplot, яка будує графік розв’язку рівняння з частинними
похідними. Адже з допомогою цієї графічної команди можна наочно
побачити, що вийшло в результаті розв’язання, зробити анімацію малюнка з
допомогою якої можна розглянути його з усіх сторін, адже на папері не
можна це зробити, чи залити різними кольорами.

Література

Матросов А. “Maple 6. Решение задач высшей математики и механики”
Петербург, 2001.

Говорухин В. Н., Цибулин В. Г. “Введение в Maple. Математический пакет
для всех” М.: Мир, 1997.

Дьяконов В. “Математическая система Maple 5” Солон, 1998.

Прохоров Г. В., Леденев М. А., Колбеев В. В. “Пакет символьных
вычислений Maple 5”. М.: Петит.-1997.

Пискунов Н. С. “Диференцыальное и интегральное исчисления” М.: Наука,
1978. Т. 2.

Коллажу Л., Альбрехт Ю. “Задачи по прикладной математике”. М.: Мир,
1978.

Корн Т. “Справочник по математике для научных работников и инженеров”.
М.: Наука, 1973.

Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и
математическими таблицами. /Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган.
М.:Наука. Физматлит, 1979.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020