Зовнішні сили. Найпростіші задачі розрахунку тросів
Троси й тросові системи довжиною до кількох сотень кілометрів
призначаються для здійснення транспортних операцій у космосі. Зміна
орбіти, взаємодія космічного корабля зі станцією, «підхоплення» речовини
малих небесних тіл, маневрування елементів зв’язування можливі із
застосуванням ефективних тросових систем. Доцільним може бути сполучення
тросів з ракетними двигунами, використання допоміжного аеродинамічного
керування.
. Рекомендується також застосовувати троси з поліефірних волокон. При
розрахунку тросових систем використовуються основні залежності небесної
механіки і механіки нитки. Троси розглядаються як абсолютно гнучкі
нитки, що не сприймають згинаючих і крутних моментів. Просторову
конфігурацію системи визначають шляхом інтегрування нелінійних рівнянь
нитки. У цій главі розглянуті основи механіки нитки і особливості
рішення рівнянь стосовно до задач орбітального польоту.
Зовнішні сили. Найпростіші задачі розрахунку тросів
Такі невеликі за значенням у космічному середовищі навантаження, як
аеродинамічні, тиск світла, сили від градієнта гравітації, звичайно не
приймаються до уваги при розрахунку жорстких конструкцій космічних
апаратів і їх елементів. При визначенні форми і зусиль у протяжних
тросових системах ці зовнішні сили, у більшості випадків, виявляються
першорядними.
Аеродинамічну силу лобового опору, що виникає при русі твердого тіла в
атмосфері, обчислюють по формулі
підраховується по формулі
— коефіцієнт пружності відбиття молекул газу від твердої поверхні.
може бути визначена по формулі
— радіус кулі.
Складові сили опору повітря, що діє на трос (рис. 10.1), визначаються зі
співвідношень
— кут атаки розглянутого перерізу.
Рис.10.1. Складові сили опору повітря, що діє на трос
Значення сили опору повітря істотно залежить від щільності середовища,
тобто від висоти польоту. У табл. 10.1 наведені значення щільності
повітря в атмосфері Землі до висот 3000 км.
Таблиця 10.1
Значення щільності повітря в атмосфері Землі
Висота, км Щільність, км/м3
0 1,225
10 4,176·10-1
50 1,067·10-3
100 6,642·10-7
300 3,581·10-11
500 1,075·10-12
1000 4,703·10-10
2000 3,528·10-11
3000 1,960·10-11
— кутова швидкість стаціонарного орбітального руху зв’язування; R —
радіус орбіти.
. Якщо напрямок світлового потоку збігається з нормаллю до освітлюваної
поверхні, при повному поглинанні світла тиск у космічному середовищі
визначається формулою
— середній радіус орбіти Землі навколо Сонця, r — відстань від
космічного апарата до Сонця.
Сила світлового тиску, спрямована по світловому потоці, дорівнює
.
Вираз для проекцій сонячного тиску на нормаль і дотичну до середньої
лінії троса при плоскому русі можуть бути дані в наступній формі:
— кут між напрямком сонячних променів і віссю троса (аналогічний куту
атаки при обтіканні тіла газовим потоком) (рис. 10.1).
¶
?
^
`
?
малих висотах (до 500 км) більш важливі аеродинамічні сили опору
атмосфери. У діапазоні висот від 500 до 700 км світловий і
аеродинамічний тиски приблизно однакові.
Ці зовнішні навантаження разом з інерційними силами і силами тяжіння
визначають форму зв’язки і траєкторію руху елементів троса.
При розрахунках використовують різні спрощені підходи при оцінці зусиль
натягу і геометрії тросів. Зневажають зокрема, масою троса, вважаючи, що
на рух тіл, якими з’єднаний трос, впливають тільки інерційні сили і сили
тяжіння самих тіл, зусилля взаємодії і тяга ракетних двигунів. Маси тіл
вважаються зосередженими в точці. Спрощення дозволяють одержати граничні
значення параметрів зв’язки. Але, природно, є випадки, коли спрощеннями
користуватися не можна. До них відноситься, наприклад, гіпотетичний
випадок руху троса, розташованого в площині, довжина якого дорівнює
довжині кругової орбіти. Маса троса рівномірно розподілена по
окружності. Умова рівноваги елемента (рис.10.2) має вигляд
де T — зусилля в тросі; R — радіус орбіти; — сумарна сила, що
складається із двох компонентів — інерційної й від сили тяжіння
— щільність матеріалу троса; A — площа поперечного переріза, V —
лінійна швидкість руху троса; — гравітаційна константа, для Землі .
Зусилля в тросі дорівнює
(10.7)
де — кутова швидкість стаціонарного орбітального руху. Граничне
значення зусилля при круговій конфігурації троса одержують із (10.7) при
. При цьому зусилля в тросі дорівнює нулю. Кругова форма можлива при , у
цьому випадку .
Рис. 10.2. Навантаження на елемент троса
Розглянемо випадок руху по круговій орбіті двох точечних мас і ,
з’єднаних невагомим тросом. Будемо вважати, що в якийсь момент часу маси
і трос розташовані уздовж радіуса. Кутова швидкість руху системи . На
рис. 10.3 показані сили, що діють на кожну масу. До прикладена
відцентрова сила , сила тяжіння і сила T взаємодії з масою , що
передається через трос.
Рис. 10.3. Сили, що діють на точечну масу
Аналогічно до маси прикладені сили , і T. У зв’язку з тим, що сила
натягу в тросі, якщо не враховувати його масу, не міняється по довжині,
(10.8)
Ліва і права частини цієї рівності дорівнюють силі T. З рівняння (10.8)
знайдемо значення кутової швидкості, при якому можливий рух системи,
коли маси й рухаються по кругових орбітах і розташовуються на одному
радіусі
(10.9)
Підставивши в ліву або в праву частину рівності (10.8) це вираз для
кутової швидкості, знайдемо силу натягу в тросі
(10.10)
За умовою , тому сила взаємодії двох мас при польоті з однаковою кутовою
швидкістю з (10.9) відповідно до виразу (10.10) буде що розтягує.
Уявимо собі, що трос розташовується по радіусу при русі по орбіті з
кутовою швидкістю . Масу троса цього разу будемо вважати відмінною від
нуля. Трос, що має зовнішній радіус і внутрішній радіус , вільний від
силового впливу на кінцях (рис.10.4). Поточним радіусом R і його
збільшенням d визначаються границі елемента троса, на який діє інерційна
сила і сила тяжіння . Трос буде перебувати в рівновазі, якщо
виконується умова
Проінтегрував це рівняння, одержимо
Рис. 10.4. Відсутність силового впливу на кінцях троса
Константу C визначають із умови, що при :
Цю же константу можна знайти з умови рівності нулю сили T при
Дорівнявши останні дві залежності, одержимо значення кутової швидкості ,
при якій можливий рух троса, коли він розташовується по радіусу
Підставивши цей вираз в кожне із двох співвідношень, якими визначаються
константи C, і потім у формулу для T, одержимо
(10.11)
Сила T у тросі при будь-якому значенні R, за винятком точок і , більше
нуля. На кінцях троса T дорівнює нулю. Максимального значення
(10.12)
сила T досягає, коли тобто
Розглянуті випадки розрахунку орбітальних тросових систем відносяться до
найпростіших. Ці задачі можуть бути віднесені до зворотних, тому що
задається конфігурація системи, а зусилля і кутову швидкість знаходять
із рівнянь рівноваги. Більш складні задачі формулюються як прямі. У них
по заданим початковим даним потрібно визначити як геометрію, так і
зусилля в елементах тросової системи. Розрахунок у цьому випадку
ускладнюється тим, що потрібно враховувати розподілені навантаження від
аеродинамічних сил і тиску світла. При цьому не завжди вдається одержати
аналітичні залежності при інтегруванні рівнянь нитки. Чисельні рішення
іноді виявляються єдино можливими.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
