Змушені коливання з урахуванням розсіювання енергії
Розглянемо змушені коливання системи з одним ступенем волі при наявності сил опору, пропорційні швидкості. Рівняння руху для такого випадку одержимо, якщо на додаток до сили опору на вантаж у вертикальному напрямку (рис. 15.15) буде діяти деяка періодична сила . Позначивши
,
одержимо рівняння руху для даного випадку, додаючи в праву частину рівняння вільних коливань із загасанням (15.25) член . При цьому
| . | (15.33) |
Загальне рішення цього рівняння знайдемо, якщо до рішення (15.28)
| (15.34) |
однорідного рівняння додамо частне рішення
| . | (15.35) |
Тоді, маючи на увазі, що
;
,
і підставляючи вираз й у диференціальне рівняння (15.33), а потім, дорівнюючи коефіцієнти при й правої й лівої частин, одержимо
;
.
Вирішуючи спільно отриману систему двох рівнянь щодо невідомих постійних і , знайдемо, що
;
.
Тоді загальне рішення рівняння (15.33) може бути представлене у вигляді
| (15.36) |
Перші доданки, що мають множник , згодом зменшуються (загасають), два інших що складаються, пропорційних , характеризують змушені коливання; вони згодом не загасають.
Період незатухаючих коливань той же, що й період сили, що обурює:
,
а їх амплітуда пропорційна величині сили, що обурює. Ця амплітуда, як легко переконатися, залежить також від характеристики загасання, а також від співвідношення періоду власних коливань
і періоду сили, що обурює.
Якщо ввести наступну заміну:
| ; | (15.37) |
| , | (15.38) |
то змушені коливання можна представити трохи простіше:
| . | (15.39) |
Амплітуда змушених коливань на підставі рівнянь (15.37) і (15.38) визначиться з виразів
;
,
складаючи які й вирішуючи відносно , знаходимо
| . | (15.40) |
Кут зрушення фаз на підставі тих же рівнянь (15.37) і (15.38) можна визначити розподілом першого з них на друге:
| . | (15.41) |
При кут позитивний і менше , тобто . З рівняння (15.39) виходить, що при цьому змушені коливання відстають по фазі від сили, що обурює. Коли , , тобто змушені коливання відстають більше чим на . Коли , , тобто під час коливального руху система займає своє середнє положення в той момент, коли сила що обурює досягає максимального значення.
Аналізуючи вираз для амплітуди змушених коливань, маючи при цьому у виді, що
; ,
знаходимо
| , | (15.42) |
де — переміщення, що виникло б при статичному додатку максимального амплітудного значення сили, що обурює.
Маючи на увазі формулу (15.42) і ділячи чисельник і знаменник виразу (15.40) для амплітуди на квадрат кругової частоти власних коливань , одержуємо
| . | (15.43) |
де — коефіцієнт, що залежить від величини сили опору.
При дуже великому періоді змушених коливань амплітуда змушених коливань наближається до статичного переміщення . При й малому загасанні .
Як вказувалося, при розрахунках амплітуд змушених коливань зручно користуватися коефіцієнтом наростання амплітуди коливань , що представляють собою відношення амплітуди змушених коливань до статичного переміщення :
.
На підставі рівняння (15.43) вираз для коефіцієнта , мабуть, буде
| . | (15.44) |
Представивши графічно при різних значеннях (рис. 15.16), одержимо так звані резонансні криві, що наочно ілюструють залежність амплітуди змушених коливань від співвідношення частот (періодів) вільних і змушених коливань при різних характеристиках, що демпфірують, системи, обумовлених значенням коефіцієнта .
Рис. 15.16. Резонансні криві
Графічне подання величини зрушення фази при різних значеннях коефіцієнта наведено на рис. 15.17.
Рис. 15.17. Графічне подання величини зрушення фази
Із цих діаграм видно, що в області, близької до резонансу, має місце дуже різка зміна фази змушених коливань у тому випадку, якщо загасання мале.
Приклад. Електродвигун вагою , що робить , встановлений на двох швелерах, консольно затиснутих у стіні. Підібрати перетин швелерів, якщо відстань від стіни до центра ваги двигуна , вертикальна складова відцентрової сили, що виникає від неврівноваженості двигуна, дорівнює , де амплітуда відцентрової сили становить 25 % ваги двигуна.
Перетин швелерів повинен бути таким, щоб власна частота коливань системи приблизно на 30 % була більше частоти сили, що обурює, тобто
,
або
,
а виникаюче напруження не перевищувало допустиме .
Коливальну систему, що представляє собою мотор на швелерах, з достатнім ступенем точності можна розглядати як систему з одним ступенем волі, для якої власна частота може бути визначена по формулі (15.5):
,
звідки
.
З іншого боку, статичний прогин двох консольно закріплених швелерів
.
Звідси визначимо момент інерції одного швелера:
.
Відповідно до таблиці сортаменту, найближчий по розмірах швелер № 16 з моментом інерції
.
Для швелерів № 16 частота власних коливань системи
,
або
,
що вище частоти сили, що обурює, на
.
Перевіримо напруження, що виникають у швелерах, з урахуванням вібраційного навантаження. Напруження у швелерах (під дією ваги мотора)
.
Коефіцієнт наростання амплітуди коливань, відповідно до виразу (15.20),
.
Тоді величина напружень з урахуванням динамічності
.
Максимальне напруження у швелері
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
