Згинальні коливання балок. Основне рівняння. Граничні умови
Основне рівняння
З курсу опору матеріалів відомі диференціальні залежності при вигині
балок
;
(189)
,
(190)
де EJ – жорсткість при вигині; y=y(x , t) – прогин; M=M(x , t) –
згинальний момент; q – інтенсивність розподіленого навантаження.
Об’єднаємо вирази (189) і (190):
.
(191)
У задачі про вільні коливання навантаженням для пружного кістяка є
розподілені сили інерції
,
де m – інтенсивність маси балки (маса одиниці довжини), і рівняння (191)
приймає вид
.
У окремому випадку постійного поперечного перетину, коли EJ = const, m =
const, одержимо
.
(192)
Для рішення рівняння (192) приймемо, як і вище,
y = X (x)( T (t).
(193)
Підставляючи (193) у (192), приходимо до рівняння
.
, одержимо два рівняння:
;
(194)
.
(195)
.
Друге рівняння визначає форму коливань. Рішення рівняння (195) містить
чотири постійних і має вид
,
де
.
(196)
Зручно використовувати варіант запису загального рішення, запропонований
О.М.Криловим:
,
(197)
де
(198)
являють собою функції О.М.Крилова.
Звернемо увагу на те, що S=1, T=U=V=0 при x=0. Функції S,T,U,V зв’язані
між собою в такий спосіб:
(199)
Тому похідні виразу (197) записуються у виді
(200)
??
u
A
AE
нескінченно велике; кожній з них відповідає своя функція часу Tn і своя
фундаментальна функція Xn. Загальне рішення утвориться шляхом накладення
приватних рішень виду (193):
.
(201)
Для визначення власних частот і форм необхідно розглянути граничні
умови.
Граничні умови
Для кожного кінця стрижня можна зазначити дві граничних умови.
Вільний кінець стрижня (мал.70,а). Нулю рівна поперечна сила Q=EJX”’ і
згинальний момент M=EJX”. Тому граничні умови мають вид
X”=0; X”’=0 .
(202)
Мал. 70
Шарнірно – опертий кінець стрижня (мал.70,б). Нулю рівний прогин y=XT і
згинальний момент M=EJX”. Отже, граничні умови будуть такими:
X=0 ; X”=0 .
(203)
. Граничні умови:
X=0; X’=0.
(204)
; вона повинна дорівнювати поперечній силі Q=EJX”’, тому граничні умови
приймають вид
; X”=0 .
(205)
У першій умові знак плюс приймається у випадку, коли точечний вантаж
зв’язаний із лівим кінцем стрижня, і знак мінус, коли він зв’язаний із
правим кінцем стрижня. Друга умова випливає з відсутності згинального
моменту.
(C0 – коефіцієнт жорсткості опори).
Граничні умови:
(206)
(знак мінус приймається у випадку, коли пружна опора є лівою, і знак
плюс, коли вона є правою).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter