Згин тонких пластин. Основні поняття й гіпотези. Переміщення й
деформації в пластинці
Основні поняття й гіпотези
.
Площина, що ділить пластинку навпіл по товщині, називається серединної.
При згинанні пластинки серединна площина перетворюється у вигнуту
поверхню. Лінія перетинання бічної поверхні пластинки із серединною
площиною називається контуром пластинки.
буде являти собою прогин пластинки. Положення початку координат у
серединній площині будемо вибирати в кожному розглянутому випадку
залежно від обрису контуру пластинки й характеру закріплення її країв.
Рис. 5.1. Пластинка
, — по теорії гнучких пластинок, або мембран.
Тонкі пластинки звичайно розраховують по наближеній теорії — технічної
теорії згинання пластинок, що заснована на наступних гіпотезах,
запропонованих німецьким фізиком Г. Кирхгофом.
1. Гіпотеза прямих нормалей: будь-який прямолінійний елемент, нормальний
до серединної площини, залишається прямолінійним і нормальним до
серединної поверхні після деформування пластинки, і довжина його не
змінюється. Ця гіпотеза аналогічна гіпотезі плоских перерезів у теорії
згинання балок.
p
r
??
залишаються прямими, тобто зсуви в зазначених площинах відсутні
(5.1)
Гіпотеза про збереження довжини прямолінійного елемента припускає, що
лінійна деформація в напрямку осі (по товщині пластинки) відсутня:
. (5.2)
2. Гіпотеза про недеформованність серединної площини: у серединній
площині відсутні деформації розтягання, стискання і зсуву, тобто вона є
нейтральною і її переміщення
. Аналогічна гіпотеза приймалася в теорії згинання балок.
Переміщення і деформації в пластинці
Вивчення згинання пластинки почнемо з визначення переміщень і
деформацій. Досліджуємо пластинку, що несе поперечне навантаження, тобто
навантаження, нормальну до серединної площини пластинки. Під дією цього
навантаження пластинка одержить переміщення. Для їх визначення
звернемося до прийнятих гіпотез.
Слідуя першій гіпотезі й підставляючи умову (5.2) у третю з формул
(2.3), одержуємо
,
, тобто
.
. Отже, досить визначити прогини серединної площини пластинки, щоб знати
вертикальні переміщення всіх її точок.
Розглядаючи умови для зсувів (5.1), з формул (2.3) одержуємо
;
;
:
, одержуємо
, одержуємо:
Тоді формули (а) приймають вид
виражені через функцію прогинів серединної площини пластинки.
Складові деформації пластинки, відмінні від нуля, знаходимо за допомогою
формул (2.3), підставляючи в них значення складових переміщення (5.4):
(5.5)
Тут складові деформації, так само як і складові переміщення в
співвідношеннях (5.4), виражені через одну функцію прогинів серединної
площини пластинки.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
