Застосування системного підходу
Ідея системного підходу до розрахунку стержневих систем зводиться до наступного. У цьому випадку будь-яка стержнева система може бути представлена набором Г-подібних, Т-подібних, П-подібних і т.п. простих стержневих елементів. Якщо заздалегідь скласти для цих елементів топологічні матриці , то значно спроститься формування топологічної матриці для всієї конструкції. Розглянемо застосування системного підходу на конкретному прикладі.
Приклад Визначити початкові параметри стержнів плоскої рами при розподіленому й зосередженому навантаженнях від вітру (рис. 2.38).
Рис. 2.38
Якщо розбити раму на стержні постійної жорсткості, то вийде 8 елементів, і матриця буде мати розмір 40х40 елементів. Якщо для ділянок рами 0-1; 4-2; 3-5 використовувати рекурентні співвідношення (2.48), то раму можна представити сукупністю 5 стержнів (з них 3 умовних стержні), і матриця буде мати розмір 25х25 елементів. Орієнтовані графи розрахунку по двох варіантах показані на рис. 2.38. Вісь кожного стержневого елемента направимо «нагору». Сформуємо рівняння типу (2.48) для «стержнів» 0-1, 4-2 і 3-5.
Стержень 0 – 1 (число щаблів )
| = | , | ||||||
Стержень 4 – 2
Стержень 3 – 5
Матриці стержнів 1-2 і 2-3 не відрізняються від матриць рівняння (2.11).
Застосовуючи системний підхід, розбиваємо стержневу систему на три елементи, як показано на рис. 2.39.
Рис. 2.39
Матричне рівняння МГЕ для рами наведено нижче.
З аналізу матриці випливає, що в матриці потрібно обнулити 1, 2, 6, 11, 16 і 17 стовпці. Для I і III елементів рівняння рівноваги й спільності переміщень вузлів складаються так само, як для Г-подібної рами, і топологічна матриця цих частин прийме вид:
Для II Т-подібного елемента матриця формується аналогічно (без компенсуючи елементів переносу незалежних параметрів).
| -1 | |||||||||||||||
| -1 | |||||||||||||||
| -1 | |||||||||||||||
| -1 | |||||||||||||||
| -1 | |||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | _ | = | |||||
| 1 | 1 | 12 | 17,5 | 120 | 2472,4224 | ||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 1 | 5,52 | 48 | 1160,064 | |||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 1 | 12 | 360 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | 1 | 100 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 1 | 30 | 45 | 450 | |||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 1 | 3 | 45 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 8 | 1 | 30 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 10 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 11 | 1 | 18 | 20 | 121 | |||||||||||||||||||||||||||
| 12 | 1 | 2,2 | 20 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 13 | 1 | 18 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 14 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 15 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 16 | 1 | 12 | 5,8 | 40 | |||||||||||||||||||||||||||
| 17 | 1 | 1,8 | 16 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 18 | 1 | 12 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 19 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 20 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 21 | 1 | 12 | 32,8 | 83,1 | -2149,6704 | ||||||||||||||||||||||||||
| 22 | 1 | 3,8 | 12,7 | -358,656 | |||||||||||||||||||||||||||
| 23 | 1 | 12 | -456 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 24 | 1 | -56 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 25 | 1 |
У матриці 4 параметри: . Два параметри зв’язані рівняннями спільності переміщень вузлів всієї рами (рис. 2.39). Тому компенсуючі елементи Для вузла 1 положення матриці визначається порядком проходження параметрів матриці . Так як граничні кінцеві параметри стрижня 0-1 зв’язані рівняннями рівноваги й спільності переміщень із початковими параметрами стержня 1-2 (вони розташовані на 6-10 рядках), то матриця повинна перебувати на місцях 6-10 стовпців і 1-5 рядків матриці . Аналогічно матриця повинна перебувати на місцях 21-25 стовпців і 11-15 рядків, а – на місцях 1-20 стовпців і 6-25 рядків.
Таким чином, у матрицю перенесено 15 параметрів. У матриці залишилося шість незалежних параметрів Ці параметри переносимо на місце нульових параметрів матриці в порядку черговості. Одержуємо наступні компенсуючі елементи матриці рами : Так само одержимо й компенсуючи елементи переносу незалежних параметрів пов’язаних з матрицею . Усього в матрицю перенесений 21 параметр.
Матриця стає нульовою, якщо додати 4 нульових параметри. Всі ненульові параметри топологічної матриці визначені й вона приймає вигляд
|
|
= | |||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
| = | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |
| 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| 2 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 3 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 4 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 5 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| 6 | ||||||||||||||||||||||||||
| 7 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 8 | 1 | -1 | ||||||||||||||||||||||||
| 9 | -1 | -1 | ||||||||||||||||||||||||
| 10 | 1 | -1 | ||||||||||||||||||||||||
| 11 | ||||||||||||||||||||||||||
| 12 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 13 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 14 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 15 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| 16 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| 17 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 18 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 19 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 20 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 21 | ||||||||||||||||||||||||||
| 22 | ||||||||||||||||||||||||||
| 23 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 24 | -1 | |||||||||||||||||||||||||
| 25 | -1 |
Підсумовуючи обнулену матрицю з топологічною матрицею , одержимо систему рівнянь типу (1.46).
Для виключення нульових провідних елементів переставляємо рядки матриць і в новому порядку (можливий варіант показаний цифрами праворуч).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | ||||||
| 1 | 17,5 | 120 | = | 2472,4224 | 3 | |||||||||||||||||||||||||
| 2 | 5,52 | 48 | -1 | 1160,064 | 4 | |||||||||||||||||||||||||
| 3 | 1 | 12 | -1 | 360 | 8 | |||||||||||||||||||||||||
| 4 | 1 | -1 | 100 | 10 | ||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 30 | 45 | 450 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 1 | 3 | 45 | -1 | 12 | |||||||||||||||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 30 | -1 | 9 | |||||||||||||||||||||||||
| 9 | -1 | 1 | -1 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | -1 | 15 | ||||||||||||||||||||||||||
| 11 | 18 | 20 | 121 | 13 | ||||||||||||||||||||||||||
| 12 | 1 | 2,2 | 20 | -1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| 13 | 1 | 18 | -1 | 23 | ||||||||||||||||||||||||||
| 14 | 1 | -1 | 25 | |||||||||||||||||||||||||||
| 15 | 1 | 1 | 24 | |||||||||||||||||||||||||||
| 16 | 5,8 | 40 | 1 | 18 | ||||||||||||||||||||||||||
| 17 | -1 | 1,8 | 16 | 19 | ||||||||||||||||||||||||||
| 18 | -1 | 1 | 12 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| 19 | -1 | 1 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||
| 20 | -1 | 1 | 20 | |||||||||||||||||||||||||||
| 21 | 1 | 12 | 32,8 | 83,1 | -2149,6704 | 21 | ||||||||||||||||||||||||
| 22 | 1 | 3,8 | 12,7 | -358,656 | 22 | |||||||||||||||||||||||||
| 23 | -1 | 1 | 12 | -456 | 11 | |||||||||||||||||||||||||
| 24 | -1 | 1 | -56 | 16 | ||||||||||||||||||||||||||
| 25 | -1 | 1 | 17 |
Далі, методом виключення Гаусса знаходимо значення всіх невідомих граничних параметрів. Вони зведені в табл. 2.7. Там же наведені результати розрахунку рами по звичайному графі (рис. 2.40), при якому матриця має розмір 40х40 елементів, і результати, отримані С.А. Рогицьким. Порівняння даних табл. 2.7 показує, що результати по МГЕ й по методу С.А. Рогицького практично збігаються. Причому, у роботі С.А. Рогицького визначені тільки згинальні моменти, а по МГЕ отримана повна інформація про напружено-деформований стан рами у формі початкових параметрів. При цьому:
- Скорочено порядок матричного рівняння МГЕ, що дозволило зменшити матрицю коефіцієнтів з розміру 40х40 до 25х25 елементів.
- Застосування запропонованих співвідношень (2.48) не привело до зменшення точності розрахунку (збігаються, принаймні, 5 цифр значень всіх параметрів при розрахунках з матрицями 40х40 і 25х25).
- Алгоритм розрахунку повністю звільнений від процесу складання рівнянь рівноваги й спільності переміщень вузлів рами, що розширює можливості машинної реалізації МГЕ.
Рис. 2.40
Таблиця 2.7
| Величини | МГЕ з матрицею 25х25 | МГЕ з матрицею 40х40 | Метод С.А. Рогицького | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 144,69 | 144,69 | 143,26 | |
| 2 | 52,761 | 52,761 | – | |
| 3 | -287,27 | -287,27 | -287,73 | |
| 4 | 56,399 | 56,399 | – | |
| 5 | 2,9004 | 2,9004 | – | |
| 6 | – | -449,75 | – | |
| 7 | – | -91,755 | – | |
| 8 | – | -10,801 | – | |
| 9 | – | 20,399 | – | |
| 10 | – | 2,9004 | – | |
| 11 | 5,2993 | 5,2993 | – | |
| 12 | -0,76499 | -0,76499 | – | |
| 13 | 29,514 | 29,514 | 29,08 | |
| 14 | -2,9004 | -2,9004 | – | |
| 15 | -43,601 | -43,601 | – | |
| 16 | 285,68 | 285,68 | 283,95 | |
| 17 | -42,741 | -42,741 | – | |
| 18 | 87,190 | 87,190 | 86,31 | |
| 19 | -8,1997 | -8,1997 | – | |
| 20 | 9,1600 | 9,1600 | – | |
| 21 | – | 312,61 | – | |
| 22 | – | -71,641 | – | |
| 23 | – | -108,56 | – | |
| 24 | – | 52,761 | – | |
| 25 | – | 5,2993 | – | |
| 26 | 46,840 | 46,840 | – | |
| 27 | -8,1997 | -8,1997 | – | |
| 28 | -488,44 | -488,44 | -487,49 | |
| 29 | 52,761 | 52,761 | – | |
| 30 | 5,2993 | 5,2993 | – | |
| 31 | 749,21 | 749,21 | – | |
| 32 | -12,607 | -12,607 | – | |
| 33 | -60,404 | -60,404 | -59,67 | |
| 34 | -9,1600 | -9,1600 | – | |
| 35 | -8,1997 | -8,1997 | – | |
| 36 | – | 402,24 | – | |
| 37 | – | -85,783 | – | |
| 38 | – | 26,188 | – | |
| 39 | – | 25,240 | – | |
| 40 | – | -8,1997 | – | |
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
