Застосування моделі Тимошенко
Більш точні розв’язки диференціальних рівнянь відкривають нові
можливості при розв’язанні різних задач, у тому числі й задач стійкості.
Стосовно до неконсервативних задач стійкості прямолінійного стержня
можна відзначити, що задачі М.Бека й В.І.Реута досить добре досліджені
тільки на основі наближених розв’язків (4.12). Прагнення уточнити
існуючі результати привело до появи робіт (353-356), де застосовувалася
модель С.П.Тимошенко. У цих роботах досліджувалася тільки задача М.Бека,
причому в неповній мері. В зв’язку з цим викликає науковий і практичний
інтерес до більш повного й докладнішого розв’язання неконсервативних
задач, які розглянемо в комбінованій формі (рис. 4.10).
Приклад 4.12.
. Лінеаризовані граничні умови цієї задачі досить прості
.
– задачу В.І.Реута на основі моделі С.П.Тимошенко, тобто додатково
враховуються зрушення, інерція обертання й деформований стан стержня.
Визначаючи методом послідовного перебору корені рівняння (3.2) і
координати точок злиття двох перших частот, можна знайти критичні сили
різних неконсервативних задач стійкості. Отримані результати зведені в
табл. 4.4.
Таблиця 4.4
;
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
М.Бекка
В.І.Реута
Комбінована
при цьому не змінювалася. Дані табл. 4.4 дозволяють зробити ряд цікавих
висновків.
мало впливає на величину критичної сили.
Задача В.І.Реута. Гнучка модель приводить до істотного зниження
критичної сили (в 2,12 рази) у порівнянні із жорсткою моделлю. Таким
чином, сила з фіксованою лінією дії більш небезпечна, ніж стежача сила
за кутом повороту.
????????????H?H??????
?
¶
j
?d?d???????????,?неможливо при консервативних стискаючих силах. В
жорсткій моделі всі частоти окремо прагнуть до нуля, тобто певна
комбінація неконсервативних сил може приводити до консервативних задач.
2 Вільний стержень навантажений у граничних точках силами F1 і F2 (рис.
4.20).
Рис. 4.20
Крайові умови цієї задачі
у перетвореннях (1.46) приводять до матриці стійкості виду:
(4.46)
Для виключення нульових провідних елементів цієї матриці (у жорсткій
моделі), її рядки необхідно переставити в новому порядку, як показано
цифрами праворуч. Критичні сили даної задачі при квадратному перерізі й
приймають значення
(4.47)
тобто для вільного стержня відношення критичних сил жорсткої й гнучкої
моделей різко збільшується в порівнянні з консольним стержнем,
(4.48)
Інші випадки дії стискаючих сил по рис. 4.20 приводять до консервативних
задач.
3 Консольний стержень із дискретним розташуванням сил F1 і F2
Для певності приймемо, що одна сила прикладена в середині прольоту, інша
на вільному кінці. Стержень дискретизується на дві частини, де стрілками
показані їхні початок і кінець, а цифрами відзначені граничні точки
(рис. 4.21).
Рис. 4.21
1 ;
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
Після переносу параметрів з матриці в матрицю , частотне рівняння
задачі по рис. 4.21 матиме вигляд
1 2 3 4 5 6 7 8
1 -А13 -А14 5 =0 стержень 0-1 (4.49)
2 -А23 -А24 6
3 А33 А34 3
4 А43 А44 4
5 А11 А12 -А13 -А14 1
стержень 1-2
6 А21 А22 -А23 -А24 2
7 -А31 -А32 А33 А34 7
8 -А41 -А42 А43 А44 8
де компенсуючі елементи визначаються виразами:
стержень 0-1
(4.50)
стержень 1-2
(4.51)
3.1 Стержень стислий двома силами F1 (рис. 4.21).
Для квадратного перетрізу й з рівняння (4.49) випливає, що
(4.52)
3.2 Стрижень стислий двома силами F2.
У цьому випадку зміняться компенсуючі елементи матриці (4.49):
стержень 0-1
(4.53)
стержень 1-2
(4.54)
Критичні сили цієї задачі будуть рівні
(4.55)
3.3 Стержень стислий в точці 1 силою F1, в точці 2 силою F2.
Компенсуючі елементи матриці (4.49) будуть дорівнюють виразам (4.50) для
стержня 0-1 і виразам (4.54) для стержня 1-2. Критичну силу вдається
визначити тільки для гнучкої моделі
(4.56)
3.4 Стержень стислий в точці 1 силою F2, в точці 2 силою F1.
Компенсуючі елементи стержня 0-1 будуть дорівнюють виразам (4.53), а
стержня 1-2 – (4.51). Критична сила визначається тільки для гнучкої
моделі
(4.57)
Для порівняння приведемо критичну силу при двох мертвих силах:
Із представлених результатів випливає, що в комбінованих задачах
спостерігається зниження критичних сил у різному ступені в порівнянні із
задачами М.Бека й В.І.Реута.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
