Застосування методу Релея-Рітца до визначення частот власних коливань
пластин
Метод Релея-Рітца дозволяє розрахунковим шляхом приблизно визначати
частоти власних коливань пластин перемінної товщини і, зокрема, дисків
турбомашин. Перевагою цього методу є також можливість легко врахувати
вплив на частоту різних побічних чинників, наприклад, початкових напруг
у серединній поверхні пластини.
, виражається подвійним інтегралом
(333)
; інтеграл береться по всій поверхні пластини, причому, для пластини
постійної товщини, забитої по контурі, інтеграл від другого доданку
виразу (333) обертається в нуль.
Узагальнена маса пластини
(334)
Відповідно до методу Релея-Рітца форма коливань задається у виді ряду
(335)
задовольняє геометричним граничним умовам.
Рівність нулю визначника системи рівнянь
(336)
дозволяє визначити частоти власних коливань.
Якщо у виразі (335) обмежуються одним доданком, то частота визначається
за формулою Релея
(337)
входять нелінійно
2?
A
??????У цьому випадку рівняння методу Релея-Рітца (336) виявляються
нелінійними і простіше виходити не з них, а з умов екстремума виразу
(337), причому значення параметрів, при яких досягається цей екстремум,
знаходяться чисельними методами.
Розглянемо як приклад забиту по контурі прямокутну пластину постійної
товщини. Обмежуючись одним доданком виразу (335), приймаємо
.
Проводячи обчислення за формулами (333) і (334), знаходимо
Для частоти коливань одержуємо
При
що на 3,3% вище точного значення.
При розрахунку коливань круглих пластин доцільно використовувати вираз
енергії деформації й узагальненої маси в полярних координатах
де інтегрування виконується по всій серединній поверхні пластини.
При вивченні коливань осесиметричних пластин вважають
У цьому випадку інтегрування по можна виконати в загальному виді і
вирази для і представляються у формі
(338)
(339)
Для суцільної вільної пластини обчислення спрощуються, якщо прийняти
функцію у виді
де – параметр, обумовлений з умови мінімуму формули Релея (337).
Тоді і визначаються формулами
Щоб оцінити похибку методу, приймаємо його для розрахунку частоти
коливань диска постійної товщини при двох вузлових діаметрах. У цьому
випадку
;
Звідси знаходимо
Мінімальне значення частоти при складає
що дає помилку порядку 5%.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
