Загальний випадок згину пластин. Вивід основного диференціального
рівняння пружної поверхні пластини
У загальному випадку згину серединна площина пластини переходить у деяку
поверхню двоякої кривизни, що не є поверхнею обертання.
Цей випадок згину пластин більш складний, тому що напруження й
деформації являють собою функції двох незалежних змінних; тому
диференційні рівняння виходять у частинних похідних.
Теорія згину пластин ґрунтується на загальних гіпотезах і допущеннях,
сформульованих в 12.1.
Відповідно до гіпотези незмінності нормалей, нормалі до серединної
площини пластини не викривляються, а лише повертаються щодо свого
первісного положення, залишаючись перпендикулярними до деформованої
поверхні пластини.
(рис. 12.31).
Рис. 12.31. Кут повороту нормалі до серединної площини
зміщаються тільки по вертикалі.
цей прямокутник одержить як лінійні, так і кутову деформації.
Рис. 12.32. Лінійні й кутові деформації
(рис. 12.32, б и в)
:
:
.
Отже,
залежностями:
;
,
вираз деформацій можна представити у вигляді
. (12.127)
За позитивний напрямок прогину прийнятий напрямок донизу.
являє собою крутіння поверхні щодо тих же осей (рис. 12.33, в).
Рис. 12.33. Кривизни й крутіння поверхні
Перейдемо від деформацій до напружень. Використовуємо залежності закону
Гука при двовісному напруженому стані:
дорівнюють нулю (відповідно до закону парності дотичних напружень), а
на серединній поверхні — досягають максимуму. Ці напруження звичайно
бувають порівняно малі, тому розраховуючи на міцність їх не враховують.
, які необхідно враховувати, у рівняннях рівноваги елемента пластини.
Розподіл напружень по товщині пластини показане на рис. 12.34.
Рис. 12.34. Розподіл напружень по товщині пластини
(рис. 12.35).
Рис. 12.35. Внутрішні силові фактори
Всі перераховані силові фактори прийнято відносити до одиниці довжини,
тому розміри елемента в плані приймемо рівними одиниці:
;
.
Підстановка під знак інтегралів виразів (12.128) – (12.130) приводить до
наступних залежностей:
— згинальна жорсткість пластини.
:
. (12.136)
Інші три умови рівноваги задовольняються тотожно.
Приведемо рівняння (12.131) – (12.136) до одного рівняння з одним
невідомим. Підставивши вираз (12.131) – (12.133) у рівняння (12.135) і
(12.136), визначимо поперечні сили
(12.137)
Вираз (12.137) можна записати більш коротко:
(12.137а)
де – диференційний оператор Лапласа:
. (12.138)
Вираз (12.137) внесемо в рівняння (12.134); у результаті одержимо
диференційне рівняння пружної поверхні
або
. (12.139)
Рівняння (12.139) можна представити також у вигляді
повинна задовольняти диференційному рівнянню (12.139) і, крім того,
граничним умовам на краях пластини.
Зупинимося на питанні про граничні умови більш докладно. Практично
можуть зустрітися наступні варіанти граничних умов:
нормаль і дотичну до контуру, то на краю пластини при жорсткому
затиснені
— також дорівнює нулю.
2. Край пластини закріплений шарнірно (рис. 12.36, б). На краю повинні
дорівнювати нулю прогин і згинальний момент у напрямку,
перпендикулярному контуру, тобто
. (12.141)
Рис. 12.36. Варіанти граничних умов
Другу умову на підставі залежності (12.131) можна привести до виду
й, отже, замість залежності (12.141а) можна написати
, (12.141б)
а також
. (12.141в)
Для криволінійного, шарнірно закріпленого краю рівності (12.141б) і
(12.141в) несправедливі.
, друга гранична умова (12.141) приймає вид
.
0
2
e
i
c
¤
I 2
i
¤
je
jo
jq
j
j hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
?????????
??????
`„Agdu_
/ hu_
hu_
hu_
hu_
jao hu_
hu_
j*o hu_
hu_
hu_
hu_
jr? hu_
hu_
jAi hu_
hu_
hu_
hu_
i hu_
hu_
j hu_
hu_
hu_
hu_
?????????
$1$7$8$H$If[$`„Agdu_
`„Agdu_
ytu_
?hu_
hu_
hu_
hu_
jOeue hu_
hu_
ju hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
j1/4o hu_
hu_
hu_
hu_
j hu_
hu_
hu_
hu_
???d?d??$7$8$H$If[$\$`„a$gdu_
`„Agdu_
ytu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
j hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
j hu_
hu_
hu_
hu_
?????????
ytu_
??????
???d?d?????????????
???????????????????
ytu_
`„Agdu_
`„Agdu_
ytu_
`„a$gdu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
hu_
j hu_
hu_
`„a$gdu_
`„Agdu_
`„gdu_
ytu_
?????????
$1$7$8$H$If[$`„Agdu_
`„Agdu_
ytu_
(рис. 12.37, б). При цьому,
,
отже,
(рис. 12.37, в).
. Так як на вільній крайці поперечна сила відсутня, то, мабуть, повинна
виконуватися рівність
або з урахуванням залежностей (12.133) і (12.137):
Рис. 12.37. Заміна крутного моменту еквівалентним поперечним
навантаженням
, отже, граничні умови для вільного краю
(рис. 12.36, г), умови (12.142) повинні бути замінені наступними:
(12.143)
Варто помітити, що при перетворенні розподіленого по краю крутного
моменту розподілене поперечне навантаження на кінцях розглянутої сторони
пластини залишаються ще дві неврівноважені зосереджені сили (рис. 12.37,
в). По величині ці сили дорівнюють скручивальному моменту в кінцевих
точках, тобто
і в крайніх точках.
. Для обчислення напружень можна використовувати формули (12.128) –
(12.130), однак більш зручно напруження виразити через моменти. З
рівностей (12.128) – (12.130), (12.131) – (12.133), виходить
:
можна обчислити головні напруження, еквівалентне напруження і
коефіцієнт запасу міцності.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
