Загальне рішення стандартного рівняння
Відомі декілька методів рішення рівняння (81). Розглянемо найбільш часто
використовуваний метод – метод варіації довільних постійних,
застосування якого дозволяє одержати результат, придатний для будь-яких
законів зміни змушуючої сили.
Ідея методу полягає в тому, що приватне рішення рівняння (81) шукають у
вигляді
(82)
відповідному рішенню однорідного рівняння, але тут розміри С1 і С2 слід
вважати не постійними, а перемінними. У результаті задача визначення
функції x(t) заміняється задачею визначення двох функцій – C1(t) і
C2(t). Для цього є тільки одне рівняння (82), тому функції C1(t) і C2(t)
треба зв’язати ще однією довільною залежністю.
Складемо вираз швидкості
співвідношенням
(83)
тоді швидкість запишеться у формі
а прискорення
(84)
Підставляючи (82) і (84) у рівняння (81), одержимо:
(85)
:
.
Інтегруючи, одержимо:
(86)
де B1 і B2 – постійні величини.
Підставляючи вираз (86) у рівняння (82), одержимо загальне рішення
рівняння (81)
(87)
під знаки інтегралів і об’єднуючи їх,
Відповідно для швидкості одержимо:
oe
o
”
–
?
¦
?
~
(88)
при t=0, то з виразів (87) і (88) знайдемо
Тоді рішення приймає вид
Тут перші два додатки описують вільні коливання, викликані початковими
обуреннями x0 і V0, а третій додаток характеризує змушені коливання,
викликані дією змушуючої сили F(t).
У випадку нульових початкових умов, коли рух починається при x0 = 0 і V0
= 0, одержимо
(89)
У деяких випадках зручніше використовувати іншу форму рішення, що
одержимо, інтегруючи вроздріб рішення (89).
Візьмемо
Тоді
по формулі інтегрування вроздріб одержимо
(90)
Якщо в початковий момент часу F(0)=0, то рішення приймає вид
(91)
– перемінне “статичне” переміщення, що обчислюється в припущенні, що
сили інерції відсутні.
Застосуємо отримані результати до випадку кінематичного порушення
коливань (мал.37). Вважаючи F(t)=Cf(t), основне рішення (89) запишемо у
виді
Аналогічно замість формули (90) при F(0)=0 одержимо
(92)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
