Задача стійкості при наявності чистого згину
Найбільш простою задачею є дія зосереджених згинальних моментів по
кінцях шарнірно обпертої балки (див. задачу 1 табл.4.5). Величину
згинального моменту в перерізі стержня зручно представляти виразом
– критичні значення заданого поперечного навантаження. Для визначення
критичного згинального моменту необхідно скласти рівняння крайової
задачі й знайти корінь трансцендентного рівняння [18,357]
– перетворена по алгоритму МГЕ матриця коефіцієнтів рівняння (4.69).
Складемо вектори стану шарнірно обпертого стержня в початковій і
кінцевій точках, де потрібно врахувати задані граничні умови.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
) параметра, тобто виконується ланцюжок елементарних перетворень
(4.74)
З останньої рівності випливають трансцендентне рівняння (4.72). Матриця
коефіцієнтів шарнірно обпертої балки набуде вигляду
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
-1
1
3
4
-1
5
6
-1
1
7
8
-1
(4.75)
Розв’язання всіх задач стійкості виконаємо для двотаврового перерізу
(рис.4.26)
Рис. 4.26
, нескладно знайти їхні значення з рівняння (4.72). Аналогічно
формуються матриці коефіцієнтів для інших граничних умов (задачі 1, 2,
3). Результати представлені в табл. 4.5.
Таблиця 4.5
1.
2.
3.
Для задачі 1 табл. 4.5 по формулі С.П. Тимошенко критичний момент буде
дорівнювати
Рис. 4.27
Розглянемо задачі стійкості, коли чистий вигин виникає на частині
стержня або конструкції. У цьому випадку потрібно спільно
використовувати розв’язки задачі Коші (4.60) і (4.69) в алгоритмі МГЕ.
. Частини 0-1 і 2-3 ненавантажені, а 1-2 випробовують чистий вигин.
Стержень дискретизується на три ділянки, граничні точки нумеруються й
стрілками вказуються початок і кінець кожного елемента. Формуємо матриці
початкових і кінцевих параметрів, де враховуються крайові умови й
рівність векторів стану в граничних точках 1 і 2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
)
і т.д.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
-1
-1
2
1
-1
3
-1
4
1
-1
5
-1
6
1
-1
7
-1
8
-1
9
1
-1
10
1
-1
11
-1
12
-1
13
1
-1
14
1
-1
15
-1
16
-1
17
1
18
-1
1
19
1
20
-1
1
21
1
22
-1
1
23
24
-1
>@BDPRTZ\ae
ae
e
e
i
????$??K?e
i
o
o
o
ue
????????-$Q?F
e
L
e
L
e
L
e
L
j
e
L
e
L
e
L
e
L
e
L
j?
$
$$
? $ $
j
%
j
%
Ff
*
**
+
++
+ + +
+
, , ,
,
,
,,
Ff]
–
--
– – –
–
??K?Для порівняння приведемо значення критичного моменту балки по
рис.4.27 за умови, що моменти прикладені в опорах
Окремі балки хоч і мають велике практичне застосування, але не
забезпечують необхідну жорсткість і міцність. Тому частіше застосовують
нерозрізні балки – статично невизначені конструкції, що мають ряд
проміжних опор, які необхідно враховувати.
Рис. 4.28
Задача 5. Нерозрізна балка по рис.4.28 має дві шарнірні опори в площині
й навантажена зосередженими моментами по кінцях. Епюра одиничних
моментів показана на рис.4.28. Тут потрібно об’єднати два рівняння типу
(4.69).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
; 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(4.81)
Матриця цієї задачі набуде вигляду
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
-1
3
-1
4
-1
5
6
-1
7
-1
8
-1
9
10
-1
1
11
-1
12
13
14
-1
1
15
16
-1
(4.82)
Критичні моменти нерозрізної балки по рис.4.28 наступні ( ):
(4.83)
Якщо б в цієї балки була відсутня проміжна опора, то
Задача 6. У розвиток представленої методики визначимо критичні моменти
рами (рис.4.29), у якої в площині опори мають жорстке закладення.
Рис.4.29
Рама дискретизуеться на три стержні, нумеруються вузли й стрілками
вказуються початок і кінець кожного елемента. На відміну від нерозрізної
балки (задача 5), у рамі необхідно враховувати кути з’єднання стержнів у
вузлах, від яких залежать рівняння рівноваги й спільності переміщення
граничних параметрів. Якщо для параметрів вигину дані рівняння досить
просто скласти, то для параметрів крутіння необхідно залучати аналогію з
поздовжньо-поперечним вигином [66]. Додатково потрібно врахувати
взаємодію параметрів вигину й крутіння сусідніх стержнів, яких немає в
нерозрізних балок. Матриці , містять задані крайові умови в площини й
рівняння зв’язку між граничними параметрами.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
(4.84)
З матриці випливає, що в матриці коефіцієнтів потрібно обнулити 1, 2,
5 і 6 стовпці. Після введення компенсуючих елементів (переносу
параметрів з в ) матриця набуде вигляду
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
-1
-1
2
3
1
-1
-1
4
1
-1
5
6
-1
7
-1
8
-1
9
1
-1
10
1
11
12
-1
-1
13
1
14
1
-1
15
-1
16
-1
17
1
18
-1
1
19
1
20
-1
1
21
1
22
-1
1
23
24
-1
(4.85)
Критичні моменти рами з рівняння (4.72) рівні ( ):
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
