Задача стійкості при довільній функції згинального моменту
Задача стійкості при довільній функції . Даний випадок найбільш повно відповідає реальним задачам стійкості. Однак, проінтегрувати рівняння В.З.Власова в цих умовах неможливо. Для розв’язання таких задач пропонується замінити довільний закон зміни східчастою залежністю, тобто система з розподіленими параметрами заміняється безліччю системами з постійними параметрами. Чим більше таких спрощених систем, тим ближче побудована модель до заданої системи. Цей підхід добре відомий і застосовується не тільки в механіці, але й в інших науках. Таким чином, для розв’язання задачі стійкості плоскої форми вигину при різному поперечному навантаженні необхідно дискретизувати стержневу конструкцію на безліч елементів, визначити для кожного елемента значення й у рамках алгоритму МГЕ сформувати рівняння (4.72) з матриць рівняння (4.69). Якщо будуть зустрічатися ділянки з , то для них потрібно залучити матрицю рівняння (4.60). Для підвищення точності наближеної моделі значення , мабуть, необхідно обчислювати в середині кожної ділянки. При великій кількості ділянок можна одержати досить точний розв’язок задачі з довільною функцією .
Задача 7. Застосуємо даний підхід до задачі С.П. Тимошенко (рис.4.30).
Рис. 4.30
Рис.4.30 |
Рівняння
(4.58) проінтегровані в нескінченних рядах. Для перерізу по рис.4.26 і безрозмірний коефіцієнт
[66] і перша критична сила (наближене значення)
Результати розв’язання задачі (рис.4.30) запропонованим підходом зведені в табл. 4.6.
Таблиця 4.6
Число
ділянок дискрети- зації стержня n |
Критичні сили
коефіцієнти |
||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
10 | |||||
20 | |||||
30 | |||||
40 | |||||
100 |
З табл. 4.6 видно, що перша критична сила відрізняється від результату С.П. Тимошенко всього на 2,7%, тобто вони практично збігаються. Також очевидно, що розбивка стержня на 20 ділянок уже забезпечує достатню точність результатів. Для ілюстрації можливостей пропонованого підходу нижче в табл. 4.7 представлені різні задачі, які не вирішуються методикою С.П. Тимошенко (епюри несиметричні). Всі стержні в табл. 4.7 розбивалися на 30 ділянок. Формування матриці для окремих балок виконувалося за аналогією із задачею 4, а для нерозрізних балок за аналогією із задачею 5, де враховувалася проміжна опора. Граничні умови балок у площинах і однакові.
Таблиця 4.7
8.
|
|
9.
|
|
10.
|
|
11.
|
|
12.
|
|
13.
|
|
14.
|
|
15.
|
|
16.
|
|
17.
|
|
18.
|
|
19.
|
|
У табл. 4.8 представлені результати розв’язання задач стійкості балок залежно від координат поперечного навантаження.
Таблиця 4.8
20. | |||||||
b | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | 0.5l | ||
111.39 | 57.42 | 40.99 | 34.45 | 32.77 | |||
21. | |||||||
b | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | 0.5l | ||
3576.86 | 737.13 | 347.04 | 239.48 | 214.46 | |||
22. | |||||||
b | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | 0.5l | ||
1957.89 | 460.39 | 206.06 | 126.51 | 95.70 | |||
b | 0.6l | 0.7l | 0.8l | 0.9l | |||
85.80 | 90.47 | 117.36 | 219.32 | ||||
23. | |||||||
b | 0 | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | 0.5l | |
11.08 | 11.29 | 12.52 | 15.73 | 23.11 | – | ||
24. | |||||||
b | 0 | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | 0.5l | |
– | 156.76 | 72.38 | 60.80 | 71.44 | – | ||
25. | |||||||
b | 0 | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | 0.5l | |
– | 95.35 | 45.11 | 33.16 | 31.86 | 38.95 | ||
b | 0.6l | 0.7l | 0.8l | 0.9l | 1.0l | ||
62.67 | 42.31 | 27.94 | 22.55 | 21.67 | |||
26. | |||||||
bq | 0 | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | ||
2223.05 | 753.46 | 475.23 | 372.53 | 333.32 | |||
27. | |||||||
bq | 0 | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | ||
467764.24 | 13099.27 | 4733.66 | 2800.05 | 2223.05 | |||
28. | |||||||
bq | 0 | 0.1l | 0.2l | 0.3l | 0.4l | ||
59660.95 | 40987.72 | 2903.69 | 1567.62 | 1082.11 | |||
bq | 0.5l | 0.6l | 0.7l | 0.8l | 0.9l | ||
893.51 | 867.37 | 1007.42 | 1507.86 | 4353.66 |
Висновок. З вищенаведеного випливає, що запропонована методика має більші можливості при розв’язанні задач стійкості плоскої форми вигину різних стержневих систем при будь-якій комбінації поперечного навантаження. Результати відрізняються високою точністю й вірогідністю. Не представляє труднощів і врахування безупинно й дискретно змінюваної жорсткості стрижнів. Процес розрахунку звільняється від застосування спеціальних функцій типу функцій Бесселя, а алгоритм МГЕ може бути пристосований для розв’язання різних систем звичайних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. При цьому змінні коефіцієнти можуть мати розриви 1-го роду, злами і який завгодно набір безперервних функцій. Деякі програми вирішених задач наведені в додатку А.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter