Вплив умов закріплення кінців стрижня на величину критичної сили (реферат)

Вплив умов закріплення кінців стрижня на величину критичної сили

Вище розглянуто так званий основний випадок навантаження і закріплення кінців стиснутого стрижня — стрижня із шарнірно обпертими кінцями. Як було показано, після втрати стійкості на довжині стрижня укладається тільки одна напівхвиля .

Розглянемо інші випадки закріплення кінців стрижня:

1. Стрижень довжиною жорстко затиснений одним кінцем і стиснутий поздовжньою силою, прикладеною до вільного кінця (рис. 14.5,а).

Рис. 14.5. Стрижень, жорстко затиснений одним кінцем

Порівнюючи рис. 14.5, а й б, бачимо, що вигнута вісь стрижня, жорстко затиснутого одним кінцем, перебуває в таких же умовах, як і верхня половина стрижня довжиною  із шарнірно закріпленими кінцями. Таким чином, критична сила для стрижня з одним затиснутим, а іншим вільним кінцем така ж, як і для стрижня із шарнірно обпертими кінцями при довжині , тобто

При цьому вигнута вісь стрижня (рис. 14.5, а) має вигляд половини напівхвилі синусоїди.

2. Стрижень довжиною , у якого обидва кінці жорстко затиснені (рис. 14.6). Після втрати стійкості стрижня внаслідок симетрії середня його частина довжиною працює в тих же умовах, що й стрижень при шарнірно обпертих кінцях. При цьому утворяться дві напівхвилі: середня, довжиною , і дві крайні половинки напівхвилі довжиною  .

Рис. 14.6. Стрижень, у якого обидва кінці жорстко затиснені

Критичну силу в цьому випадку знаходимо з рівняння (14.14) при :

3. Стрижень довжиною забитий одним кінцем і шарнірно обпертий на іншому (рис. 14.7). Після втрати стійкості права частина стрижня має вигляд напівхвилі синусоїди. З порівняння рис. 14.7 і 14.5, б знаходимо, що ділянка  довжиною  перебуває в таких же умовах, як і стрижень із шарнірно закріпленими кінцями. Виходить,

Рис. 14.7. Стрижень, затиснений одним кінцем і шарнірно обпертий іншим

Співвідношення (14.14), (14.17) – (14.19) можна об’єднати в одну формулу

де  — наведена довжина стрижня;  — фактична довжина стрижня;

— коефіцієнт приведення довжини.

Таким чином, різні випадки обпирання й навантаження стрижня приводяться до основного випадку введенням у формулу наведеної довжини . Це поняття вперше було уведено Ф. С. Ясинським.

З формули Ейлера (14.20) видно, що критичне навантаження залежить від найменшої жорсткості , довжини стрижня  й коефіцієнта .

Рис. 14.8. Значення коефіцієнтів приведення довжини

На рис. 14.8 наведені значення  для розглянутих стрижнів. Однак такі розрахункові схеми на практиці рідко зустрічаються в чистому виді. Частіше закріплення кінців бувають пружними. Найпоширенішийо наступні випадки пружного закріплення кінців:

а) один кінець стрижня жорстко затиснений, а інший пружно обпертий;

б) обидва кінці пружно забиті.

Розглянемо перший випадок (рис. 14.9).

Рис. 14.9. Один кінець стрижня жорстко затиснений, а інший пружно обпертий

Після втрати стійкості пружно обпертий кінець стійки переміщається у вертикальному напрямку на величину ; при цьому виникає пружна реакція , пропорційна відхиленню :

де  — коефіцієнт пружності опори .

Складемо диференціальне рівняння пружної лінії стислого стрижня після втрати стійкості:

Розділивши почленно на  й позначивши, як звичайно,

одержимо

,

або

Загальний інтеграл цього диференціального рівняння

Для визначення постійних інтегрування й критичного навантаження маємо такі граничні умови:

при

при

Використовуючи граничну умову (14.24), з рівняння (14.23) знаходимо

.

Щоб застосувати граничну умову (14.25), обчислимо похідну від переміщення :

,

звідки при  знаходимо

,

або

.

Підставивши отримані вирази для довільних постійних у формулу (14.23), одержимо остаточне рівняння вигнутої осі стиснутого стрижня:

Граничну умову (14.26) використовуємо, щоб одержати визначальне рівняння для знаходження критичного навантаження. Поклавши в рівнянні (14.27) , знаходимо, що

,

або

,

звідки

Якщо це рівняння вирішити, тобто визначити найменший корінь , то тим самим можна знайти значення критичного навантаження, так як

.

Розглянемо два граничних випадки. Поклавши , одержимо , тобто ,

і приходимо до такої розрахункової схеми стрижня, коли один кінець (лівий) жорстко затиснений, а інший (правий) вільний. Величина критичної сили.

.

Поклавши  (дуже жорстка опора), одержимо визначальне рівняння

;  тобто .

Величина критичної сили

,

що дає формулу для стрижня, один кінець якого затиснений, а інший шарнірно обпертий.

Таким чином, якщо коефіцієнт пружності опори  міняється від нуля нескінченно, те це можна врахувати коефіцієнтом приведення , що при цьому відповідно змінюється від 2 до 0,7.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter