Вплив ланцюгових зусиль
Вище подовжня сила вважалася заданою і незалежною від переміщень системи. У деяких практичних задачах супровідний процес поперечних коливань подовжня сила виникає унаслідок згину балки і носить характер реакції опори. Розглянемо, наприклад, балку на двох шарнірно нерухомих опорах. При її згині виникають горизонтальні реакції опор, що викликають розтяг балки; відповідне горизонтальне зусилля прийнято називати ланцюговим зусиллям. Якщо балка робить поперечні коливання, то ланцюгове зусилля буде змінюватися в часі.
Якщо в мить t прогини балки визначаються функцією , то подовження осі можна знайти по формулі
.
Відповідне ланцюгове зусилля знайдемо за допомогою закону Гука:
.
Підставимо цей результат у рівняння (215) замість подовжньої сили N (з урахуванням знака):
. (220)
Отримане нелінійне інтегро-диференціальне рівняння спрощується за допомогою підстановки
, (221)
де безрозмірна функція часу, максимальне значення якої можна покласти рівним будь-якому числу, наприклад, одиниці; амплітуда коливань.
Підставляючи (221) у рівняння (220), одержимо звичайне диференціальне рівняння
, (222)
коефіцієнти якого мають наступні значення:
; .
Диференціальне рівняння (222) є нелінійним, отже, частота вільних коливань залежить від їхньої амплітуди.
Точне рішення для частоти поперечних коливань має вид
,
де частота поперечних коливань, обчислена без урахування ланцюгових зусиль; поправочний коефіцієнт, що залежить від відношення амплітуди коливань до радіуса інерції поперечного перетину ; розмір наводиться в довідковій літературі.
При сумарності амплітуди і радіуса інерції поперечного перетину поправка до частоти стає значною. Якщо, наприклад, амплітуда коливань стрижня круглого перетину дорівнює його діаметру, то і частота майже в два рази більше, ніж у випадку вільного зсуву опор.
Випадок відповідає нульовому значенню радіуса інерції, коли згинальна жорсткість балки мала – струна. При цьому формула для дає непевність. Розкриваючи цю непевність, одержимо формулу для частоти коливань струни:
.
Ця формула відноситься до випадку, коли в стані рівноваги натяг дорівнює нулю. Часто задачу про коливання струни ставлять в інших припущеннях: вважають, що переміщення малі, а розтягуюча сила задана і залишається незмінною в процесі коливань.
При цьому формула для частоти має вид
,
де N – постійна розтягуюча сила.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
