Грузле тертя
Вільні коливання системи з одним ступенем свободи при наявності тертя.
Грузле тертя
У цьому випадку виникає опір руху, пропорційний його швидкості. При
цьому сила опору описується виразом
,
(14)
де k – коефіцієнт пропорційності.
Прикладом системи, що працює в умовах грузлого тертя, може служити
гідравлічний амортизатор (мал.15), що створює опір руху поршня, що
залежить не від переміщення (як це властиво пружним зв’язкам), а від
швидкості і пропорційний її першому ступеню (14). Подібні пристрої
застосовуються, наприклад, у конструкціях автомобільної підвіски.
Гідравлічний амортизатор складається з одного або декількох циліндрів із
поршнями або з камери, у якій обертається крильчатка. Циліндри і камера
наповнені амортизаційною рідиною. При русі поршнів або крильчатки ця
рідина продавлюється через калібровані отвори; цим створюється опір, за
характером близький до грузлого. У формулі (14) R – це сила, що діє на
амортизатор, а грузла реакція амортизатора на коливне тіло має
протилежний напрямок.
Мал. 15
Диференціальне рівняння руху в розглянутому випадку має вид
(15)
або
,
(16)
де
.
Для розглянутого лінійного диференціального рівняння з постійними
коефіцієнтами характеристичне рівняння має вид
,
.
Позначимо
.
Тоді рішення рівняння (16) визначається формулою
(17)
або
,
(18)
де
.
Отже, при наявності грузлого тертя рух вантажу описується неперіодичним
законом (мал.16).
Проте часто цей рух називають періодичними загасаючими коливаннями,
незважаючи на наявну неможливість суміщення понять “періодичні” і
“загасаючі”.
Мал. 16
цих коливань розуміють час між двома максимальними зсувами
.
(19)
називають кутовою частотою загасаючих коливань.
Відношення двох послідовних максимальних відхилень від положення
рівноваги складає
,
(20)
j%
. Частіше розглядають не відношення двох послідовних амплітуд, а
логарифм цього відношення, що називають логарифмічним декрементом
коливань
.
(21)
У металевих конструкціях без спеціально введених елементів тертя
логарифмічний декремент складає звичайно від декількох сотих до десятих
долей одиниці.
близьке до одиниці, то
,
де
.
А.
Тому що логарифмічний декремент коливань
,
то
.
:
.
(22)
.
відповідно. Після підстановки в (17) одержимо:
або
і рішення рівняння (16), що задовольнять початковим умовам, має вид
. (23)
Приклад 5. Амплітуда власних коливань за один період зменшилася в два
рази. Визначити логарифмічний декремент коливань і зміну власної частоти
внаслідок загасання.
Рішення.
Логарифмічний декремент коливань
;
,
звідки
.
Власна частота коливань
,
тобто зміна власної частоти внаслідок загасання складає 0,6%.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
