Вільні коливання системи із двома або декількома ступенями свободи
Системою із двома, трьома й т.д. ступенями волі називається, як
вказувалося вище, така система, положення якої в будь-який момент часу
може визначатися відповідно двома, трьома й т.д. незалежними
параметрами.
Типовими коливальними системами такого роду, що часто зустрічаються в
машинобудуванні, є вал з декількома дисками (рис. 15.19), що робить
крутильні коливання, балка з декількома зосередженими масами (рис.
15.20), що робить поперечні коливання, і т.п.
Рис. 15.19. Вал з декількома дисками
У першому випадку рух описується кутом повороту навколо поздовжньої осі
вала, а в другому – вертикальним переміщенням зосереджених мас у
напрямку, перпендикулярному до осі балки.
Рис. 15.20. Балка з декількома зосередженими масами
Прикладом коливальної системи, у якій рух маси визначається одночасно
лінійним зсувом і кутом повороту, може служити кузов автомобіля, схема
якого наведена на рис. 15.21.
Рис. 15.21. Кузов автомобіля
Розглядаючи коливання пружних систем з декількома ступенями волі,
диференціальні рівняння руху в багатьох випадках можна одержати, як і у
випадку систем з одним ступенем волі, користуючись принципом Д’аламбера.
. Тоді рівняння руху будуть
. (15.51)
Якщо розглядається система з декількох мас, вільних у просторі, то
рівняння (15.51) повинні бути написані для кожної маси системи.
.
натягу другої пружини. Силами опору зневажаємо. Тоді, користуючись
принципом Д’аламбера, рівняння руху першої маси
запишемо у вигляді
,
або
діє тільки сила натягу другої пружини
,
а рівняння руху буде
).
Складаючи диференціальні рівняння руху, можна було скористатися й іншим
методом.
Рис. 15.22. Коливальна система
. При цьому переміщення першої маси, рівне подовженню першої пружини,
,
а переміщення другої маси визначиться сумарним подовженням обох пружин:
.
Трохи перетворивши останні рівняння, остаточно одержимо
. (15.55)
Отримана система рівнянь руху (15.54) і (15.55) еквівалентна системі
рівнянь (15.52) і (15.53), але відрізняється своєю структурою.
Помітимо, що другий спосіб у задачах розглянутого типу громіздкий, тому
що зсув, наприклад, кінцевої точки залежить від сил інерції всіх мас, а
отже, виразиться через другі похідні від зсувів всіх точок.
Крім зазначених двох способів, існує третій, найбільш загальний спосіб,
заснований на застосуванні відомих з теоретичної механіки рівнянь
Лагранжа другого роду, які при відсутності сил опору й зовнішніх сил, що
обурюють, мають вигляд
— відповідно кінетична й потенційна енергія системи.
Застосовуючи рівняння Лагранжа для складання рівнянь руху розглянутої
двомасової системи, насамперед, запишемо вираження кінетичної й
потенційної енергії цієї системи:
;
.
$nOe
U
&Du
Відповідні похідні, що входять у рівняння (15.56), такі:
; ; ; ;
; ;
; .
Тоді рівняння (15.56) стосовно до розглянутого випадку прийме вигляд
; .
Помітимо, що рівняння, отримані з рівнянь Лагранжа, завжди збігаються з
рівняннями, отриманими способом, заснованим на використанні принципу
Д’аламбера. У деяких випадках, зокрема для систем ланцюгової структури
розглянутого типу, по міркуваннях простоти викладень варто користуватися
першим способом; при розрахунку згинальних коливань виявляється більше
зручним другий.
Отже, припустимо, що рівняння руху системи із двома ступенями волі одним
з розглянутих способів отримані. Нехай ці рівняння мають вигляд (15.52)
і (15.53):
(15.57)
Рішення системи цих двох лінійних диференціальних рівнянь із постійними
коефіцієнтами можна шукати в наступній формі:
(15.58)
де й — постійні, які потрібно вибрати так, щоб задовольнялися рівняння
(15.57). Підставляючи рішення (15.58) у рівняння (15.57), одержимо
;
,
або
;
. (15.59)
Рівняння (15.59) містять три невідомих: амплітуди й частоту . Із цих
двох рівнянь знайти зазначені три величини не можна, однак з них можна
визначити частоту. Дійсно, розглядаючи систему рівнянь (15.59), бачимо,
що випадок коливального руху, коли й , можливий тоді, коли дорівнює
нулю визначник зазначеної системи однорідних рівнянь відносно й , тобто
коли
.
Написавши цей визначник у розгорнутому виді, після перетворень одержимо
.
Це рівняння є квадратним відносно , і легко показати, що воно має два
дійсних позитивних корені:
;
.
Відповідно можуть бути отримані й дві власні частоти:
;
. (15.60)
Отриманий у відповідності з виразом (15.60) двочастотний коливальний
процес у загальному виді варто записати так:
;
.
(15.61)
Тут перший індекс в амплітуди показує номер координати, а другий —
номер доданка в рядку, або номер частоти.
Амплітуди коливань зв’язані відношенням, обумовленим з першого або
другого рівнянь системи (15.59):
; ,
або відповідно до прийнятої індексації
;
.
Тоді рівняння (15.61) можуть бути записані у вигляді
;
. (15.62)
При цьому власні частоти й , а також відносини амплітуд і залежать
від параметрів коливальної системи. Що стосується значень амплітуд і ,
а також кутів зсувів фаз і , то вони повинні бути визначені із чотирьох
початкових умов, що виражають значення зсувів і швидкостей обох мас у
початковий момент часу.
У випадку, коли рух системи викликаний ударом по масі , що відповідає
наступним початковим умовам при :
; ;
; ,
з рівнянь (15.62) одержимо
;
;
;
.
Звідси, оскільки й відомі, знаходимо, що
; ; .
Підбираючи штучним образом початкові умови так, щоб амплітуда , можна
одержати одночастотні коливання, описувані однією гармонікою:
;
. (15.63)
Коливання, описувані однієї, гармонікою, називаються першими нормальними
коливаннями. Оскільки величина відносини амплітуд не залежить від
початкових умов, то розглянуті одночастотні коливання характеризуються
цілком певним співвідношенням амплітуд, що залежать тільки від
параметрів системи. Отже, визначає першу нормальну форму коливань.
Друга форма коливань, мабуть, визначиться відношенням у тому випадку,
коли початкові умови обрані такими, при яких і здійснюються другі
нормальні коливання, описувані формулами
;
. (15.64)
Помітимо, що число нормальних форм коливань і рівне йому число власних
частот збігається із числом ступенів волі коливальної системи й що
дві нормальні форми коливань ортогональні, тобто має місце
співвідношення
.
Установивши загальні принципи визначення основних параметрів коливань
пружних систем з декількома ступенями волі, перейдемо до розгляду
найважливіших видів коливань, що часто зустрічаються в інженерній
справі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
