Використання принципу збереження енергії при рішенні задач на коливання
У багатьох випадках при рішенні задач коливань систем зручно виходити з
розгляду принципу збереження енергії системи. Так, розглядаючи
найпростішу коливальну систему з одним ступенем волі (рис. 15.2), легко
переконатися, що кінетична енергія такої системи під час коливань (масою
пружини зневажаємо) становить величину
,
де
.
Потенційна енергія системи складається з потенційної енергії деформації
пружини й потенційної енергії вантажу, що залежить від його положення.
буде , а відповідна потенційна енергія, що накопичується при цьому в
пружині,
,
.
,
.
, зменшиться на величину
.
Користуючись принципом збереження енергії й зневажаючи втратами енергій
у системі при коливаннях, варто покласти, що сума кінетичної й
потенційної енергії системи залишається постійною, тобто
,
або
–
<>tvaa|
~
?
‚
„
?
?
, будемо мати
, тобто коли вантаж проходить середнє положення, швидкість досягає свого
найбільшого значення й вся енергія системи складається з кінетичної
енергії. На підставі рівняння (15.139) маємо
. (15.140)
Останнє рівняння можна використовувати для обчислення частот коливань
системи. Як ми вже відзначали, у цьому випадку маємо простої гармонійний
рух, тобто можемо покласти, що
.
у рівняння (15.140), одержуємо
,
звідки
. (15.141)
Це збігається з раніше отриманою формулою (15.2).
Описаний спосіб, заснований на принципі збереження енергії, досить
часто використовують для рішення різних інженерних задач коливань, у
тому числі більш складних, чим тут розглянуті.
На закінчення помітимо, що викладений тут енергетичний метод може бути
використаний для одержання диференціального рівняння коливань
розглянутої системи з одним ступенем волі. Дійсно, продиференціював
рівняння (15.139), знайдемо, що
.
Звідси одержимо раніше знайдене диференціальне рівняння руху (15.1):
,
або
,
де
.
Сказане тут стосовно до коливальної системи з одним ступенем волі
справедливо також і стосовно пружних коливальних систем з декількома й з
нескінченним числом ступенів волі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
