Вигин з розтяганням (стиском)
Розрахунки на спільну дію вигину й розтягання можна звести до наступних
двох основних видів:
а) розрахунки на дію поздовжньо-поперечних навантажень;
б) розрахунки на поза центрове розтягання (стискання).
Окремо повинен бути розглянутий вигин з розтяганням (стиском) кривого
бруса.
Складний вигин з розтяганням (стиском) прямого бруса. Якщо на балку
діють і поздовжні й поперечні навантаження, що перетинають вісь бруса,
то в загальному випадку (рис. 10.19, а) у поперечних перерізах виникають
згинальні моменти Мz і Му у двох площинах, поперечні сили Qz і Qy, а
також поздовжня сила N (рис. 10.19, б). Таким чином, у цьому випадку
буде складний вигин з розтяганням або стиском.
а б
Рис. 10.19. Складний вигин з розтяганням (стиском)
Нормальне напруження в довільній точці перетину
(10.54)
Згинальні моменти, поздовжню силу й координати точки, у якій обчислюють
напруження, підставляють сюди з їх знаками.
Зневажаючи дотичними напруженнями від поперечних сил, можна вважати, що
напружений стан у небезпечній точці лінійно. Отже, умова міцності має
найпростіший вигляд:
(10.55)
Якщо перетин має дві осі симетрії і виступаючі кути, то небезпечною буде
одна з кутових точок. Напруження в ній визначають по формулі (10.54) або
так:
(10.56)
Знаки в цій формулі комбінують за змістом або на основі зіставлення з
формулою (10.54).
У випадку плоского вигину в головній площині уОх з розтяганням (стиском)
тричленна формула перетворюється у двочленну:
(10.57)
Ці формули застосовують при розрахунку на міцність плоских рам і арок
малої кривизни. Небезпечними в цьому випадку є ті перетини, де діє
найбільший згинальний момент
При розрахунку брусів з поперечним перерізом довільної форми для
визначення небезпечної точки перетину необхідно, насамперед, установити
положення нейтральної лінії. Спосіб визначення положення нейтральної
лінії описаний нижче при розгляді позацентрового розтягання.
]=160 МПа.
Рішення.
Визначивши опорні реакції і побудувавши епюри Mz і N (рис. 10.20, б, в),
визначаємо, що небезпечним є перетин правої стійки, у якому
.
Небезпечні точки в цьому перетині перебувають ліворуч (рис. 10.20, г),
тому що тут арифметично складаються напруження від Мz і N.
а б в
Рис. 10.20. Наприклад 10.5
Відповідно до формули (10.57) умова міцності запишеться так
з розрахунку на вигин:
Далі перевіряємо міцність обраного перетину, обчислюючи максимальні
нормальні напруження по формулі (10.57):
Перенапруження становить
тому необхідно збільшити розмір перетину, прийнявши по сортаменту
наступний номер двотавру – № 27а, для якого
Позацентрове розтягання (стискання) прямого бруса. Позаценрове
розтягання (стиск) являє собою окремий випадок складного згинання з
розтяганням (стисканням), при якому брус розтягується силами,
паралельними осі бруса, так що їх рівнодіюча не збігається з віссю бруса
(рис. 10.21), а проходить через точку р, називану полюсом сили.
Рис. 10.21. Позаценрове розтягання (стиск)
, а відстань цієї точки до осі х, називана ексцентриситетом,— через е. У
будь-якому поперечному перерізі при такому навантаженні діють наступні
внутрішні силові фактори:
.
:
їх значення, одержимо
(10.60)
Цій формулі можна додати трохи інший вид, виразивши головні моменти
інерції через радіуси інерції:
(10.61)
Для визначення небезпечної точки при складному профілі доцільно
побудувати нейтральну лінію перетину. Небезпечною в перетині буде точка,
найбільш віддалена від нейтральної лінії.
:
?????*?°
?
z (рис. 332):
(10.63)
Із залежностей (10.63) виходить, що нейтральна лінія перетинає
координатні осі в точках, що належать квадранту, протилежному тому, у
якому перебуває точка р.
Тепер, провівши паралельно нейтральної лінії дотичні до контуру
перетину, знайдемо найбільш напружені точки A і B у розтягнутій і
стислій зонах перетину (рис. 10.22).
Рис. 10.22. Епюра нормальних напружень
Напруження в цих точках і умови міцності мають вигляд
наведена на рис. 10.22. Для прямокутного перетину умову міцності
зручніше представити в наступному виді:
(10.65)
Формули (10.64) і (10.65) справедливі й у випадку дії стискаючої сили F,
якщо немає небезпеки виникнення поздовжнього вигину.
Ядро перетину. У загальному випадку нейтральна лінія може проходити і
поза перетином. Дійсно, якщо сила F прикладена в центрі ваги, то
нейтральна лінія проходить у нескінченності, тому що напруження в цьому
випадку розподілені по перетину рівномірно.
) уперше торкнеться контуру перетину. При подальшому збільшенні
ексцентриситету нейтральна лінія перетинає перетин, причому нормальні
напруження в перетині будуть обох знаків: по одну сторону від
нейтральної лінії – розтягуючи, а по іншу – стискаючими.
Рис. 10.23. Різні положення нейтральної лінії
Становить інтерес установити область таких видалень сили F від осі, при
яких нормальні напруження по всьому поперечному перерізу будуть одного
знака. Така область називається ядром перетину. Це важливо для брусів з
матеріалів, що погано пручаються розтяганню (наприклад, для цегельної
кладки, бетону й сірого чавуну).
Отже, ядром перетину називається область навколо центра ваги поперечного
переріза, що має наступну властивість: якщо позацентрово прикладене
навантаження розташоване, в області ядра, то нормальні напруження у всіх
точках поперечного переріза мають один знак.
Для побудови ядра перетину будемо задаватися різними положеннями
нейтральної лінії, дотичними до контуру перетину, і обчислювати
координати відповідних точок додатка сили F по наступних формулах, що
випливає з виразу (10.63):
(10.66)
Обчислені координати визначають точки, що лежать на границі ядра
перетину.
, що лежить на нейтральній лінії. Одержимо
.
Таким чином, для побудови ядра перетину якої-небудь фігури потрібно
провести кілька положень нейтральної лінії, що збігаються зі сторонами
перетину, а також дотичних його виступаючих точок.
Побудуємо, наприклад, ядро перетину для прямокутника ABCD (рис. 10.24).
Сполучимо спочатку нейтральну лінію зі стороною CD (положення 1 — 1).
Очевидно, у цьому випадку
Тоді з виразів (10.66)
Тут враховано, що
ядра перетину визначені.
Сполучимо тепер нейтральну лінію зі стороною AD (положення 2 — 2). Маємо
ядра
Аналогічно визначаються координати точок 3′ і 4′, що відповідають
положенням нейтральної лінії 3 — 3 і 4 — 4.
Рис. 10.24. Ядро перетину
Тому що при переході нейтральної лінії з однієї сторони на іншу вона
повертається навколо кутової точки перетину, то точка додатка сили
переміщається по прямій, утворюючи контур ядра. Таким чином, ядро
перетину буде ромбом з діагоналями, рівної однієї третини відповідної
сторони перетину.
Приклад 10.6. Для круглого перетину побудувати ядро перетину (рис.
10.25).
Рис. 10.25. Наприклад 10.6
Рішення.
лежить на діаметрі, що також проходить через точку А, і її координати
наступні:
Можна, мабуть, зробити висновок, що завдяки симетрії перетину ядро
перетину також буде навкруги з радіусом
Побудова ядра перетину для двотавру (рис. 10.26), швелера (рис. 10.27) і
трикутника (рис. 10.28) рекомендується виконати самостійно.
Рис. 10.26. Ядро перетину двотавру
Рис. 10.27. Ядро перетину швелера
Рис. 10.28. Ядро перетину трикутника
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
