Узагальнені сили й узагальнені переміщення. Робота зовнішніх сил

Визначення переміщень у пружних системах

Будь-яка конструкція під дією прикладених зовнішніх навантажень змінює в
тому або іншому ступені свою форму і розміри – деформується. Для
перевірки твердості і стійкості конструкції необхідно уміти визначати
переміщення, викликані деформацією її елементів. Крім того, визначення
переміщень конструкції є найважливішою допоміжною задачею при розрахунку
статично невизначених систем.

Методи визначення цих переміщень досить різноманітні. Вони відрізняються
один від одного головним чином ступенем складності й областю
застосування.

Історично першим запропонованим методом визначення переміщень можна
вважати метод безпосереднього інтегрування диференціального рівняння
пружної лінії балки. Однак у випадку балок з великою кількістю ділянок
реалізація цього методу стикається зі значними труднощами, що полягають
не в інтегруванні диференціальних рівнянь, а в техніці визначення
постійних інтегрування – складанні і вирішені систем лінійних
алгебраїчних рівнянь.

. Для зменшення великого обсягу обчислювальної роботи, пов’язаної з
визначенням довільних постійних інтегрування, розроблений ряд методів, з
яких, насамперед, відзначимо метод початкових параметрів, що дозволяє
при будь-якому числі ділянок звести розв’язок до відшукання тільки двох
постійних – прогину і кута повороту на початку координат.

Зазначені методи, як і деякі інші, носять приватний характер. З деякою
натяжкою їх можна визнати зручними при розв’язанні обмеженого кола
найпростіших задач.

Найбільш загальним методом визначення переміщень у стержневих системах є
метод Мора (іноді говорять Максвелла – Мора), в основі якого лежать два
основних принципи механіки: початок можливих переміщень і закон
збереження енергії. Перш ніж перейти до викладу методу, зупинимося на
його основних теоретичних передумовах.

 

Узагальнені сили й узагальнені переміщення

.

У задачах механіки зовнішнє навантаження відрізняється великою
розмаїтістю і звичайно являє собою групи сил. Вираження для якої-небудь
групи постійних сил можна представити у виді добутку двох величин:

) — залежить від переміщень і називається узагальненим переміщенням.

Таким чином, під узагальненою силою будемо розуміти будь-які
навантаження (зосереджені сили, зосереджені пари, розподілене лінійне
навантаження, розподілене моментне навантаження), а під узагальненим
переміщенням — той вид переміщення, на якому узагальнена сила виконує
роботу.

 по напрямку її дії, викликаний цією же силою.

 зберігається тільки перший індекс.

 і називається питомим.

Робота зовнішніх сил. Потенційна енергія

, статично прикладеної до деякої пружної системи (мал.5.1, а), матеріал
якої діє за законом Гука.

 

Рис. 5.1. До визначення роботи зовнішніх сил

 

При малих деформаціях до цієї системи застосуємо принцип незалежності
дії сил, отже, переміщення окремих точок і перетинів конструкції прямо
пропорційні викликаючому їх навантаженню:

I

?

?

.

.

, використовуючи (5.2):

.

:

або, з урахуванням (5.2):

, (5.3)

тобто робота зовнішньої сили при статичній дії її на будь-яке пружне
спорудження дорівнює половині добутку значення цієї сили на величину
відповідних їй переміщення.

Для узагальнення отриманого висновку під силою розуміють будь-яку дію,
прикладену до пружної системи, тобто не тільки зосереджену силу, але і
момент або рівномірно розподілене навантаження.

Під переміщенням розуміють той його вид, на якому дана сила виконує
роботу: зосередженій силі відповідає лінійне переміщення, зосередженому
моментові — кутове, рівномірно розподіленій навантаженню — площа епюри
переміщень на ділянці дії навантаження.

 робота зовнішніх сил

. (5.4)

Роботу зовнішніх сил на викликаних ними переміщеннях можна виразити й
інакше — через внутрішні силові фактори (згинальні моменти, повздовжні і
поперечні сили), що виникають у поперечних перерізах системи.

.

.

.

 виконає роботу:

Рис. 5.2. Сили, що діють на нескінченно малий елемент

 

 його правого перетину

.

 виконає роботу

Рис. 5.3. До визначення роботи внутрішніх сил

 

 визначаються у виді

,

 на цьому переміщенні буде

.

Підсумовуючи (5.5) – (5.7), одержимо повне значення роботи:

 кожної ділянки всіх стержнів і підсумовуючи результати, одержимо

(5.9)

З формули (5.9) випливає, що робота зовнішніх сил на викликаних ними
переміщеннях завжди позитивна.

.

Похожие записи