Узагальнені функції та їх властивості

Стержень, як основний елемент стержневої системи, є одномірним
континіумом. У цьому зв’язку процеси впливу на нього (механічні,
теплові, електричні) у більшості випадків описуються порівняно простими
диференціальними рівняннями, для яких можна одержати аналітичне рішення.
Теорія рішень диференціальних рівнянь дозволяє врахувати особливості
геометрії і навантаження стержня. Особливості у вигляді зосереджених
сил, розривів навантаження і геометрії 1-го роду можна описати за
допомогою узагальнених функцій. Представимо основні властивості
узагальнених функцій.

Узагальнені функції і їх властивості

 – залежною величиною (функцією).

У ряді випадків замість функції користуються поняттям оператора –
відображення множини в себе. Звичайні функції можна складати й множити
на дійсні числа, так що вони утворюють лінійні дійсні простори (лінійні
відображення).

У зв’язку із труднощами рішення задач, що містять зосереджені включення
(зосереджені навантаження, розподілені навантаження з розривами 1-го
роду, точечна маса, зосереджений імпульс і ін.), можна розширити клас
звичайних функцій на основі використання розривних функцій.

, якщо вони задовольняють умовам  [110].

 

Цим умовам можуть задовольняти безліч звичайних функцій, деякі приклади
яких представлені на рисунку 1.1, де

        

       

Рис. 1.1. Імпульсні функції

З рис. 1.1 виходить, що форми вершин імпульсних функцій можуть бути
різними, але це не позначається на загальних властивостях таких функцій.
Відзначимо, що

,

 необмежено зростає. Так що:

.

 – імпульсна функція. Розглянемо поводження інтеграла

.

Тут можливі два випадки:

 (рис. 1.2)

 

Рис. 1.2. Інтервал містить нульову точку

З визначення імпульсної функції й узагальненої теореми про середній для
визначеного інтеграла виходить, що

,

.

:

. У цьому випадку очевидно, що

(1.2)

Позначимо:

.

При використанні дельта-функції опускають операцію граничного переходу,
тоді з (1.1) і (1.2) треба, що

(1.4)

Аналогічно вводиться дельта-функція зі зрушенням у точку  х0:

  маємо:

????????????H?H??????

Праві частини (1.6) і (1.7) визначаються як одиничні функції Хевісайда:

    (1.8)

Тому співвідношення (1.6), (1.7) можна записати як

     (1.9)

і              (1.10)

Рівності (1.9), (1.10) встановлюють зв’язок між дельта-функцією Дірака й
одиничною функцією Хевісайда. На рис. 1.3 дана геометрична інтерпретація
цих функцій. Аналітично це стане так:

      (1.11)

Укажемо ще на ряд властивостей дельта-функції:

1) властивість парності

    ;

2) якщо за     взяти всю числову вісь, те

    (1.12)

3) інтеграли

    ;

     ;

де   – монотонна функція, що має єдиний нуль у крапці  , тобто ,  але  
.

а б

в г

Рис. 1.3. Геометрична інтерпретація функцій Дірака й Хевісайда

У загальному випадку, якщо точки  , ,… є простими нулями функції , то:

.

Так як  при , то справедлива рівність

,   .

Теорія узагальнених функцій полагає, що диференціювання розподілів
завжди можливе, тобто узагальнена функція нескінченно диференційована,
а  -а  похідна визначається виразами:

(1.13)

(1.14)

Аналіз виразів (1.10), (1.13), (1.14) показує, що з механічної точки
зору дельта-функція Дірака і її похідні повинні трактуватися як
узагальнена міра, рівна нулю. У цьому випадку будь-яка постійна величина
(сила, момент, бімомент і т.п.), помножена на дельта-функцію Дірака і її
похідні, повинна дорівнювати нулю:

(1.15)

Однак, якщо до символів     і їх похідних застосовувати операції
інтегрування, то можуть наступати моменти, коли нуль “зникає”. Тоді може
бути використане поняття сплайн-функції. Так називаються звичайно
кусочно поліноміальні функції, що володіють певною гладкістю.

Стосовно до механіки стержневих систем розширимо поняття сплайн-функції.
Під сплайн-функцією будемо розуміти функцію, складену з “шматків” різних
функцій, що мають похідні до  порядку включно. По такому визначенню
сплайни можуть містити будь-які безперервні функції. Якщо взяти
визначений інтеграл від одиничної функції Хевісайда, то одержимо
найпростіший лінійний сплайн:

або

 ,

де символ “+”  вказує на сплайн-функцію. Інтегруючи лінійний сплайн ще
раз, одержимо сплайн 2-ї ступені й т.д.:

Аналогічно визначаються сплайны від тригонометричних, гіперболічних та
інших функцій:

 ;       

Сплайни, одинична функція Хевісайда і дельта-функція Дірака утворять
логічно завершений ланцюжок взаємного зв’язку.

і

Завдяки зазначеним властивостям узагальнені функції  й  виявилися дуже
зручними для описання зосереджених і розподілених навантажень, що діють
на стержень. При цьому інтенсивність навантаження може бути представлена
аналітичним виразом на всьому інтервалі, займаному стержнем.

Операції інтегрування виразів із узагальненими функціями виконуються за
своїми правилами. Як приклад розглянемо випадки:

1) На стрижень діє зосереджена сила     в точці  .

Інтенсивність навантаження

,

інтеграл

.

Тут використане фільтруюча властивість дельта-функції (1.5). Знак
сплайна “+” необхідний, тому що при  інтеграл дорівнює нулю по
властивості (1.5).

2) На стержень діє зосереджений  момент   у точці   .

Тоді

,

и

.

Інтегрування виконане по виразу (1.14). При  інтеграл дорівнює нулю,
тому необхідний символ сплайна “+”.

3) На стрижень діє розподілене навантаження від точки  до точки .

У цьому випадку

,

и

Знак сплайна свідчить, що при    й   інтеграли дорівнюють нулю.

Відзначимо, що операція диференціювання знижує розмірність лінійних
сплайнов і узагальнених функцій, тобто одинична функція Хевісайда є
безрозмірною функцією, дельта-функція Дірака має негативну розмірність
стосовно розмірності аргументу.

Якщо  ,  то    й т.д.

Похожие записи