Уточнення динамічних моделей

Вище запропоновано враховувати зосереджені маси шляхом зведення їх до
еквівалентної розподіленої маси. Такий підхід дозволяє вирішити задачу
врахування зосереджених мас, однак він має серйозні недоліки. Головний
недолік полягає в перекручуванні дійсної розрахункової схеми. Як
результат цього досить складно підібрати таке значення еквівалентної
розподіленої маси, щоб спектр частот, форми власних коливань і
напружено-деформований стан моделі максимально близько відповідали б
дійсній розрахунковій схемі. Приклади врахування зосереджених мас у
даній книзі підтверджують це виведення. У зв’язку з цим пропонується
значно уточнити динамічні моделі, які не спотворювали б розрахункові
схеми й, відповідно, результати розв’язку динамічних задач.

.

Рис. 3.6

, при якому результати вже не будуть уточнюватися, можна визначити на
тестовому прикладі.

У якості такого розглянемо задачу пошуку власних частот симетричних
коливань рами із зосередженою масою по рис. 3.4.

Приклад 3.5. Уточнимо розрахункову схему  рами й приймемо до розгляду її
ліву половину (рис. 3.7). Крайові умови складемо для симетричних форм
коливань. Нумеруємо вузли, стрілками вказуємо

Рис. 3.7

 приймуть вигляд

1

1

2

2

3

3

 

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

12

12

13

13

14

14

15

15

16

16

17

17

18

18

19

19

20

20

 стане в такий спосіб (див. далі).

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

FJ

(Для даної матриці формуємо програму пошуку частот власних коливань у
середовищі програмування MATLAB.

140 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1                                    

2         -1                          

3 1         -1                        

4     -1       -1                      

5     1             -1                    

6                         -1        

7                           -1      

8                             -1    

9                               -1  

10                   1                   -1

11                                    

12             -1                      

13 -1                                  

14     -1                              

15         -1                   1          

16           -1                    

17                                

18                     -1          

19                                

20                         -1             1

Попередньо в папці Work поміщаємо підпрограми – функції фундаментальних
функцій .

Текст програми пошуку частот

 % Побудова графіка

 % Виведення на друк таблиці значень  і

%

Програма спочатку будує графік , де можна грубо визначити інтервали для
частот власних коливань.

Рис. 3.8

Рис. 3.9

При  й  фрагменти цих графіків показані на рис. 3.8, 3.9. Подальше
зменшення величини  не приводить до уточнення частот, тобто величина
 для розподіленої маси може бути досить точною моделлю зосередженої
маси.

Уточнення частот при виведені таблиці , де вектор  — значення , а вектор
 — значення визначника , приводить до наступних результатів:

(3.28)

Зіставляючи ці дані з методом переміщень по (3.25)

,

можна відзначити, що результати уточненої моделі (3.28) істотно краще
погодяться з результатами методу переміщень. Розбіжність, що
зберігається по старших частотах можна пояснити тим, що  залежність  у
методі переміщень починаючи з 3-ї частоти має точки розриву 2-го роду,
що не сприяє точному визначенню власних частот.

Таким чином, очевидно, що розглянутий підхід не вимагає ускладнення
математичної моделі, але істотно підвищує точність і вірогідність
результатів. Це стосується й вільних стержневих систем, де сили інерції
лінійно рухомих стержнів можна врахувати за допомогою зосереджених мас
аналогічно.

Додамо також, що в алгоритмі МГЕ нескладно використовувати й більш точні
моделі гармонічних коливань. Для цього в рівняннях крайових задач,
подібних до рівняння (3.2), потрібно замінити фундаментальні функції
А.Н. Крилова на фундаментальні функції рівняння С.П. Тимошенко, що
додатково дозволить врахувати зрушення й інерцію обертання стержня.

Похожие записи