Теорія циліндричних оболонок
. Прийнявши зазначені зусилля рівними нулю, одержимо модель оболонки,
запропоновану В. 3. Власовим. Ця модель являє собою тонкостінну
просторову систему, що складається з нескінченної безлічі поперечних
елементарних смужок, що згинаються. Кожна смужка вподібнюється плоскому
кривому стержню, що працює не тільки на розтягання або стиск, але також
на поперечний згин і зсув. Взаємодія двох суміжних смужок здійснюється
шляхом передачі з однієї з них на іншу тільки нормальних і зусиль, що
зрушують. На рис. 7.17 ці зусилля замінені зв’язками, розташованими на
рівні серединної поверхні оболонки.
Рис. 7.17. Модель оболонки, запропонована В.З. Власовим
На рис. 7.18 зображені нескінченно малий елемент серединної поверхні й
діючі по його сторонах зусилля.
Рис. 7.18. Нескінченно малий елемент серединної поверхні
Диференціальні рівняння рівноваги елемента циліндричної оболонки в
розглянутому випадку мають такий вигляд:
приводиться до одного рівняння із двома невідомими:
— диференціальний оператор Власова четвертого порядку по змінної s,
пов’язаний із законом секторіальних площ і вид, що має
(а)
P — функція, що залежить від складових поверхневого навантаження й
обумовлюється формулою
(7.24)
Крім статичних, уводяться також і геометричні гіпотези: поперечні
подовження і деформації зсуву в серединній поверхні приймаються рівними
нулю як величини, що мало впливають на основні зусилля оболонки:
.
Тоді складові деформації, відповідно до формул (7.10), приймуть вид
(в)
Виключимо з формул (в) переміщення. Для цього формули (в)
продифференціюємо у такий спосіб:
(г)
Складаючи другу й третю формули (г), одержуємо
Звідси, використовуючи п’яту формулу (г), знаходимо
, знаходимо
(е)
Підставляючи потім похідні (д) і (е) в останню формулу (г), одержуємо
диференціальне рівняння нерозривності деформацій:
Використовуючи геометричні гіпотези (б), одержуємо
(ж)
Диференціальне рівняння (ж) показує, що згинання елементарної поперечної
смужки (деформація контуру) супроводжується розтяганням оболонки уздовж
твірної (депланація поперечного переріза).
. Тоді з формул (7.11) знаходимо:
j
Вносячи ці значення в рівняння (ж) і приєднуючи рівняння (а), одержуємо
систему двох спільних диференціальних рівнянь
, де h – товщина оболонки.
(для кругової оболонки) рівняння (7.25) будуть мати постійні
коефіцієнти. Розглянемо рішення системи варіаційним методом
Бубнова-Гальоркіна у формі, розробленої для оболонок В. 3. Власовим. У
цьому випадку шукані функції представляються у вигляді добутку двох
функцій:
з яких перші залежать тільки від змінної s, а другі — від змінної x.
Одна із двох функцій приблизно задається, а друга визначається з
диференціальних рівнянь.
, використовуючи фундаментальні функції поперечних коливань балки, які є
рішенням однорідного диференціального рівняння
де l — довжина оболонки в напрямку твірної; m — довільний параметр.
. Фундаментальні функції в цьому випадку чисто тригонометричні:
, і фундаментальні функції приймають вид
Для оболонки, у якої один край шарнірно обпертий, а іншої – жорстко
затиснений, граничні умови мають вигляд
і фундаментальні функції приймають такий вид:
Подібним чином будуються фундаментальні функції і при інших граничних
умовах. Фундаментальні функції, отримані зазначеним шляхом, а також їх
другі похідні мають властивість ортогональності:
(з)
Для відшукання функцій змінної представляємо їх разом з функцією (7.24)
у вигляді нескінченних рядів:
:
(7.27)
Тут
При інтегруванні системи (7.27) з’являться вісім довільних постійних.
Для їх визначення використовуються граничні умови на поздовжніх краях
оболонки. Число цих умов у кожній точці одного краю дорівнює чотирьом.
Ці умови можуть бути статичними, геометричними і змішаними.
Таким чином, задача про рівновагу довгої циліндричної оболонки при
будь-яких заданих граничних умовах і при дії довільного навантаження
повністю розв’язне.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
