Теорія напруг і деформацій. Гіпотези й принципи теорії пружності.
Напружений стан у точці тіла. Тензор напруг. Зовнішні сили й напруги.
Диференціальні рівняння рівноваги
Гіпотези й принципи теорії пружності
1.Гіпотеза суцільності. Відповідно до цієї гіпотези тверде тіло має
безперервну структуру й ця властивість безперервності відноситься до
будь-якого як завгодно малого об’єму тіла. Таке допущення дозволяє
стверджувати, що напруги, деформації й переміщення є безперервними
функціями координат точок тіла, і для дослідження
напряжено-деформованого стану тіла можна використовувати аналіз
нескінченно малих.
2.Гіпотеза про фізичну однорідність. Відповідно до цієї гіпотези всі
фізичні характеристики тіла (модулі пружності, коефіцієнти Пуассона,
щільності й ін.) не залежать від координат точок тіла.
3.Гіпотеза про природний ненапружений стан. Суть цього твердження
полягає в тому, що при відсутності зовнішніх навантажень напруги у всіх
точках тіла приймаються рівними нулю. Практично ж у тілі можуть бути
початкові напруги, іноді досить значні (наприклад, залишкові зварювальні
напруги).
4.Гіпотеза про ідеальну пружність. Це означає, що форма й розміри тіла
повністю відновлюються після усунення причин, що викликали деформації, а
між деформаціями й напругами існує лінійна залежність, тобто
справедливий закон Гука.
Теорія пружності, що ґрунтується на лінійній залежності між напругами й
деформаціями, деформаціями й переміщеннями, називається лінійною, або
класичною теорією пружності.
Крім розглянутих гіпотез, можна сформулювати деякі основні принципи
теорії пружності.
У класичній теорії пружності приймається, що переміщення тіла малі в
порівнянні з його лінійними розмірами, а відносні подовження й кути
зсуву малі в порівнянні з одиницею (принцип малості переміщень).
Малість переміщень і лінійна залежність між напругами й деформаціями
дозволяють застосувати принцип незалежності дії сил, що дає можливість
визначати результат впливу на тіло системи сил як суму результатів
впливу кожної сили окремо.
Важливе значення при розв’язанні багатьох задач має принцип Сен-Венана
або принцип локальності ефекту самоврівноважуючих навантажень.
Відповідно до цього принципу, система взаємно врівноважених навантажень,
прикладена до малої частини тіла, викликає напруги, що швидко убувають в
міру видалення від місця прикладення навантажень, так звані місцеві
напруження.
Принцип Сен-Венана іноді формулюється так: у точках твердого тіла,
досить віддалених від місця прикладення навантажень, напруги мало
залежать від характеру розподілу цих навантажень по поверхні тіла.
Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
Зовнішні сили й напруги
Зовнішні сили, що діють на тверде тіло, можна розбити на дві групи:
поверхневі й об’ємні.
Поверхневі сили виникають у результаті взаємного контакту тіл. Вони
розподіляються по поверхні тіла. Наприклад, сила тиску води на греблю,
сила тиску фундаменту на ґрунт і т.д.
Ці сили характеризуються своєю інтенсивністю, тобто величиною сили, що
прикладена на одиницю площі поверхні. Якщо розміри площі, на якій діє
сила, малі в порівнянні з розмірами тіла, то такою площею можна
знехтувати й вважати, що сила прикладена в точці. Таку силу називають
зосередженою.
Об’ємні сили діють у кожній точці тіла. До них відносяться маса тіла й
сили інерції.
, а нормаль до цієї площадки через n, тоді величина
називається повною напругою.
T ? c E E
????????????H?H??????
будуть лежати в площині перерізу й називаються дотичними напруженнями.
— дотична.
1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
. На кожній грані такого елементарного паралелепіпеда діють по три
складові напруги, паралельні координатним осям. Всього на шести гранях
одержимо 18 складових напруг.
; тут перший індекс відповідає нормалі до тієї площадки, на якій діє
дане дотичне напруження, а другий вказує вісь, паралельно який ця
напруга спрямована (мал.1.1).
Рис.1.1. Нормальні й дотичні напруження
Для цих напруг прийняте наступне правило знаків. Нормальна напруга
вважається позитивною при розтяганні, або, що те ж саме, коли вона
збігається з напрямком зовнішньої нормалі до площадки, на якій діє.
Дотичне напруження вважається позитивним, якщо на площадці, нормаль до
якої збігається з напрямком паралельної йому координатної осі, воно
спрямоване в бік відповідній цій напрузі позитивної координатної осі.
з точністю до нескінченно малих першого порядку можна розкласти в ряд
Тейлора:
Напруги на інших паралельних гранях паралелепіпеда зв’язані аналогічним
чином. Отже, з 18 складових напруги невідомими є тільки дев’ять.
Для тіла, що перебуває в рівновазі, повинні задовольнятися шість рівнянь
статики: три рівняння проекцій на координатні осі й три рівняння
моментів щодо цих осей.
Складемо рівняння проекцій на вісь х. Перемножуючи кожну напругу на
площу грані, по якій воно діє, і переходячи в такий спосіб від напруг до
сил, одержимо
Після перетворень це рівняння рівноваги приймає вигляд
Аналогічним чином виходять два інших рівняння проекцій, і в результаті
три диференціальних рівняння рівноваги записуються так:
(1.1)
Перейдемо до рівнянь моментів щодо координатних осей. Складемо суму
моментів всіх сил щодо осі y:
Після перетворень, відкидаючи величини четвертого порядку малості й
розділивши на об’єм паралелепіпеда, одержимо
Суми моментів щодо двох інших осей дають аналогічні співвідношення. Ці
три рівності виражають закон парності дотичних напружень:
(1.2)
Цей закон формулюється в такий спосіб: по двох взаємно перпендикулярних
площадках складових дотичних напруг, перпендикулярні лінії перетинання
цих площадок, рівні одна одній
Рівності (1.2) приводять до того, що з дев’яти складових напруг, що
характеризують напружений стан в точці тіла, залишаються тільки шість:
(1.3)
Для визначення цих шести величин є тільки три рівняння рівноваги (1.1),
отже, задача теорії пружності по визначенню напруг у нескінченно малому
об’ємі є статично невизначеною.
Відсутні рівняння можна одержати, розглядаючи деформації тіла і його
фізичні властивості.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
