Теорія коливань оболонок без розтягання серединної поверхні
На основі описаної вище теорії розглянемо коливання циліндричної оболонки (мал.75).
Мал.75
Визначимо положення довільної точки на серединній поверхні оболонки координатами і . Компоненти переміщення точки в подовжньому, окружному і нормальному до поверхні напрямках позначимо відповідно . Компоненти деформації серединної поверхні визначаються формулами
(344)
Прирівнявши і до нуля, проінтегруємо отримані рівняння і виразимо через дві довільні функції кутової координати
(345)
З отриманих формул видно, що при деформації циліндричної оболонки без розтягу серединної поверхні утворюючі залишаються прямими, а осьові переміщення не залежать від подовжньої координати.
Формули показують, що чисті згинання замкнутої циліндричної оболонки можливі в наступних випадках: а) якщо її торці вільні; у цьому випадку відмінні від нуля і ; б) якщо на одному із торців заборонені переміщення , але дозволене переміщення ; в) якщо на одному із торців заборонене переміщення . Якщо ж оболонка обперта на обох торцях, чисте згинання її неможливе.
Складемо вирази потенційної і кінетичної енергії оболонки, що робить гармонійні коливання з частотою . У загальному виразі потенційної енергії деформації зберігається тільки доданок . Вхідні до нього параметри зміни кривизни визначаються формулами
Після підстановки цих значень у (341) і інтегрування по з урахуванням того, що , знаходимо
(346)
де
Інтеграли у виразах обчислюються по всій довжині оболонки.
З основного рівняння методу Релея-Рітца випливає, що вираз () повинний мати стаціонарне значення
Звідси випливає система звичайних диференціальних рівнянь для функцій , . У цьому випадку, якщо форма всіх меридіональних перерізів однакова (товщина оболонки не залежить від ), коефіцієнти постійні і рівняння одержують такий вид
(347)
. (348)
Рішення цих диференціальних рівнянь для відкритих оболонок повинно бути підпорядковано граничним умовам на подовжніх крайках. На цих крайках можуть бути задані переміщення (постійні уздовж кожної крайки), а також переміщення і кут повороту
у двох різних перетинах по довжині оболонки. Усього є сім кінематичних граничних умов на кожній подовжній крайці, що відповідає чотирнадцятому порядку рівнянь (347)-(348). Якщо закріплення відсутні, то кінематичні граничні умови заміняються природними граничними умовами.
Якщо оболонка симетрична щодо поперечного перерізу (мал.76,а), то і функції , визначаються незалежними диференціальними рівняннями
(349)
Функція описує в цьому випадку кососиметричні щодо перерізу форми коливань, а функція – симетричні. Рівняння, що визначає функцію , збігається з рівнянням коливань кільця у своїй площині.
Мал.76
Для замкнутої оболонки граничні умови заміняються умовами періодичності, яким задовольняють функції , . У випадку симетричної оболонки підстановка цих виразів у рівняння (349) приводить до наступних значень частот щодо кососиметричних коливань
і щодо симетричних коливань
Для оболонки постійної товщини і довжини (мал.76,б)
У цьому випадку
Як видно з отриманих формул, при коливаннях оболонок без розтягу серединної поверхні частоти визначається залежностями такого ж типу, як і для пластин:
де – циліндрична жорсткість; – числовий коефіцієнт. При прагненні товщини оболонки до нуля частота її коливань без розтягу серединної поверхні також прагне до нуля.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
