Теореми для лінійно деформованих систем
Для лінійно деформівних систем між узагальненими силами і переміщеннями
існує лінійна залежність
(11.24)
Початок взаємності сил. Скориставшись теоремою Лагранжа (11.23) і
врахувавши, що значення другої похідної не залежить від порядку
диференціювання, знайдемо
(11.25)
або, якщо врахувати (11.24),
дорівнює значенню i-ї узагальненої сили при одиничному k-м переміщенні,
то умову (11.26) часто називають початком взаємності сил.
Теорема Клапейрона. Для лінійно деформівной системи похідна потенційної
енергії по узагальненому переміщенню, якщо врахувати залежності (11.23)
і (11.24), є лінійною функцією узагальнених переміщень. Тоді сама
потенційна енергія деформації буде однорідною квадратичною функцією
узагальнених переміщень (координат). На підставі теореми Эйлера про
однорідні степеневі функції можна записати
(11.27)
Отриманий вираз, якщо врахувати теорему Лагранжа (11.23), перетвориться
до виду
(11.28)
Формулою (11.28) і виражається теорема Клапейрона: подвоєна потенційна
енергія деформації лінійно деформованої системи дорівнює сумі добутків
узагальнених сил на узагальнені переміщення, що відповідають положенню
рівноваги системи.
Теорема Кастільяно. Потенційна енергія деформації може бути виражена не
тільки через узагальнені переміщення, як це приймалося в теоремі
Лагранжа, але і через узагальнені сили.
Якщо розглядати сукупність залежностей (11.24) як систему рівнянь щодо
узагальнених переміщень, то, вирішивши цю систему, можна одержати
(11.29)
Як ми вже відзначали вище, у випадку лінійно деформівної системи
потенційна енергія деформації є однорідною функцією другого ступеня від
узагальнених переміщень. Тому при заміні за допомогою залежності (11.29)
узагальнених переміщень узагальненими силами потенційна енергія
перетвориться в однорідну функцію другого ступеня від узагальнених сил.
На підставі теореми Эйлера про однорідні функції
(11.30)
Порівнюючи ліві частини виразу (11.28) і (11.30), приходимо до
залежності
(11.31)
яка виражає теорему Кастильяно: частна похідна від потенційної енергії
по узагальненій силі дорівнює відповідній цій силі узагальненому
переміщенню.
, залежністю (11.19).
, то відповідним узагальненим переміщенням буде кут повороту одного
торцевого перерізу стосовно іншого.
Рис. 11.5. Узагальнена сила у вигляді сукупності двох моментів
Узагальнене переміщення вважається позитивним, якщо узагальнена сила
робить на ньому позитивну роботу. Наприклад, при визначенні по теоремі
Кастільяно кутів повороту опорних перерізів балки, зображеної на
рис.11.5, кут повороту лівого опорного перерізу буде позитивним при
повороті проти годинникової стрілки, а кут повороту правого опорного
перерізу – при повороті за годинниковою стрілкою.
Теорема Кастільяно (11.31) дозволяє обчислити будь-яке узагальнене
переміщення в лінійно деформівній системі, якщо тільки можна скласти
вираз потенційної енергії в функції від; навантаження і узагальненої
сили, що відповідає узагальненому переміщенню. Але це зробити можна
тільки для пружної системи, статична невизначеність якої розкрита. У
цьому випадку зайві реакції виражені через навантаження, після чого
легко виписати вираз потенційної енергії у функції від навантаження і
узагальненої сили.
H
J
†
D
†
?
?
?
ue
@
B
D
h
„
?
після знаходження узагальненого переміщення покласти цю силу, рівною
нулю, тобто
(11.32)
Теорема про найменшу роботу. Вище затверджувалося, що теорема Кастільяно
може бути використана для визначення переміщень лише після розкриття
статичної невизначеності. Покажемо, що цією теоремою можна скористатися
і для знаходження статично невизначених величин.
— правої. Тоді по теоремі Кастильяно (11.31) можна виписати наступні
залежності для визначення узагальнених переміщень (вертикальні
переміщення і кути повороту) лівої і правої частин вихідної балки в
перетині розрізу (рис. 11.6,в):
(11.33)
З умови нерозривності – рівності відповідних узагальнених переміщень
лівої і правої частин балки:
якщо взяти до уваги (11.33), одержимо
— повна потенційна енергія деформації обчислена з урахуванням дії на
пружну систему зовнішнього заданого навантаження й статично невизначених
зусиль N, M.
б
в
Рис. 11.6. Статично невизначена балка
Тому що потенційна енергія деформації є функція істотно позитивна й при
збільшенні навантаження може безмежно зростати, то формули (11.34) є
умовою мінімуму потенційної енергії і виражають собою теорему про
найменшу роботу: частна похідна від потенційної енергії по зайвим
(статично невизначеним) невідомим дорівнює нулю.
Ця теорема іноді формулюється інакше: дійсні значення зайвих невідомих
обращають потенційну енергію деформації системи в мінімум. При цьому
(11.35)
Властивість взаємності переміщень. На підставі залежностей (11.31) і
(11.24)
(11.36)
Для інтегрувальної функції значення змішаної похідної не залежить від
порядку диференціювання:
Звідси, якщо врахувати (11.36), треба властивість взаємності переміщень
(коефіцієнтів впливу)
— значення k-го узагальненого переміщення при дії i-ї одиничної сили.
Теорема про взаємність робіт. Властивість взаємності коефіцієнтів впливу
(11.26) і (11.37) дозволяє довести теорему про взаємність робіт, що
спрощує рішення деяких задач будівельної механіки.
Узагальнені переміщення, що відповідають силам другого стану і викликані
силами першого стану, визначаються по формулах
(11.38)
узагальнені переміщення, що відповідають силам першого стану і виклані
силами другого стану,- по формулах
(11.39)
Теорема про взаємність робіт говорить: при дії на пружне лінійно
деформівне тіло по черзі двох систем навантажень робота сил першого
стану на відповідним їм переміщеннях, викликаних дією сил другого стану,
дорівнює роботі сил другого стану на відповідним їм переміщеннях,
викликаних дією на тіло сил першого стану, тобто
(11.40)
Щоб переконатися в справедливості рівності (11.40), виразимо за
допомогою залежностей (11.38) і (11.39) узагальнені переміщення через
узагальнені зусилля. Тоді одержимо
або
(11.41)
З урахуванням властивості взаємності коефіцієнтів впливу (11.37) остання
рівність перетворюється в тотожність, чим і підтверджується
справедливість теореми про взаємність робіт (11.40).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
